Середина отрезка в пространстве по координатам — карточки с ответами, 11 класс

Памятка на карточке

Координаты середины M отрезка AB в пространстве — средние арифметические соответствующих координат: M=((xA+xB)/2; (yA+yB)/2; (zA+zB)/2). Все три координаты усредняются независимо. Если известны A и M, другой конец находят по B=2M−A. В этой карточке требуется именно середина, а не длина отрезка.

Серия I — прямое применение (8 задач)

1. Найдите M — середину отрезка A(2; -4; 6)B(8; 2; 0).
2. Найдите M — середину отрезка A(-5; 7; 1)B(3; -1; 9).
3. Найдите M — середину отрезка A(0; 0; 0)B(14; -8; 2).
4. Найдите M — середину отрезка A(9; -3; 5)B(-1; 7; -5).
5. Найдите M — середину отрезка A(2; 4; 6)B(3; 5; 7).
6. Найдите M — середину отрезка A(-8; -2; 4)B(-4; 6; -10).
7. Найдите M — середину отрезка A(10; 0; -12)B(0; 4; 2).
8. Найдите M — середину отрезка A(-3; -5; -7)B(5; 3; 1).

Серия II — восстановление конца (8 задач)

Решите уравнения 2xM=xA+xB по каждой оси. Если координата M дробная, это нормально: середина может иметь полуцелые координаты.

1. Даны A(3; 5; -2) и середина M(5; 3; 2). Восстановите B.
2. Даны A(-8; 4; 2) и середина M(-3; 1; -1). Восстановите B.
3. Даны A(0; -3; 7) и середина M(-2; 1; 4). Восстановите B.
4. Даны A(5; 5; 5) и середина M(11/2; 7; 7/2). Восстановите B.
5. Даны A(-2; 8; -6) и середина M(1/2; 4; -1). Восстановите B.
6. Даны A(12; -2; 0) и середина M(8; 3; 3). Восстановите B.
7. Даны A(-7; -9; 3) и середина M(-5; -4; -1). Восстановите B.
8. Даны A(1; 0; 10) и середина M(-2; 3; 6). Восстановите B.

Серия III — осмысленные вопросы (6 задач)

1. Робот перемещается от (−2; 0; 4) к (8; 6; −2). Координаты точки на половине прямого пути?
2. A(5; −1; 9), B(−3; 7; 1). Верно ли утверждение, что M=(1; 3; 5)?
3. M=(0; 0; 0) и A=(−9; 2; −3). Определите второй конец отрезка.
4. Дано A(2; 2; 2), B(3; 3; 3). Может ли середина иметь целочисленные координаты?
5. У концов отрезка одинаковая x-координата −7, но разные y и z. Какова x-координата середины?
6. Ученик сложил x-координаты концов и разделил на 3, потому что пространство трёхмерно. Почему это неверно?

Дополнительные задачи на оценку результата (2 задачи)

1. A(0; −2; 8), B(6; 4; 0). Середина M=(3; 1; 4). Покажите, что AM=MB как векторы.
2. На складе датчики A(−4; −4; 2) и B(6; 2; 12). Середина отрезка должна лежать в пределах 0≤x≤2, −2≤y≤0, 6≤z≤8. Выполняются ли условия?

Полный ключ ответов

Ответы 1–8

1. 1. M=(5; -1; 3): покоординатно (A+B)/2.
2. 2. M=(-1; 3; 5): покоординатно (A+B)/2.
3. 3. M=(7; -4; 1): покоординатно (A+B)/2.
4. 4. M=(4; 2; 0): покоординатно (A+B)/2.
5. 5. M=(5/2; 9/2; 13/2): покоординатно (A+B)/2.
6. 6. M=(-6; 2; -3): покоординатно (A+B)/2.
7. 7. M=(5; 2; -5): покоординатно (A+B)/2.
8. 8. M=(1; -1; -3): покоординатно (A+B)/2.

Ответы 9–16

1. 9. B=(7; 1; 6). Вычисление: B=2M−A, где M=(5; 3; 2); проверка: (A+B)/2=M.
2. 10. B=(2; -2; -4). Вычисление: B=2M−A, где M=(-3; 1; -1); проверка: (A+B)/2=M.
3. 11. B=(-4; 5; 1). Вычисление: B=2M−A, где M=(-2; 1; 4); проверка: (A+B)/2=M.
4. 12. B=(6; 9; 2). Вычисление: B=2M−A, где M=(11/2; 7; 7/2); проверка: (A+B)/2=M.
5. 13. B=(3; 0; 4). Вычисление: B=2M−A, где M=(1/2; 4; -1); проверка: (A+B)/2=M.
6. 14. B=(4; 8; 6). Вычисление: B=2M−A, где M=(8; 3; 3); проверка: (A+B)/2=M.
7. 15. B=(-3; 1; -5). Вычисление: B=2M−A, где M=(-5; -4; -1); проверка: (A+B)/2=M.
8. 16. B=(-5; 6; 2). Вычисление: B=2M−A, где M=(-2; 3; 6); проверка: (A+B)/2=M.

Ответы 17–24

1. 17. M=(3; 3; 1): средние арифметические −2 и 8, 0 и 6, 4 и −2.
2. 18. Да: ((5−3)/2; (−1+7)/2; (9+1)/2)=(1; 3; 5).
3. 19. B=2M−A=(9; −2; 3); отрезок симметричен относительно начала координат.
4. 20. Нет: середина равна (1/2+2; 1/2+2; 1/2+2)=(5/2; 5/2; 5/2).
5. 21. Она равна −7: (−7−7)/2=−7; другие координаты вычисляются отдельно.
6. 22. Середина делит отрезок пополам, поэтому усредняют 2 координаты концов по каждой оси: знаменатель 2, не число измерений.
7. 23. AM=(3; 3; −4), MB=(3; 3; −4); совпадение векторов означает равные по длине и направлению половины.
8. 24. M=(1; −1; 7), все три координаты лежат в указанных интервалах, значит выполняются.

Критерии: по одному баллу за каждую из 16 вычислительных задач и по два за каждую объяснительную. Всего 32. Нельзя округлять половины, если в условии явно не требуется приближение: координата 5/2 — точная. Полученную середину проверяйте равенством векторов AM и MB.

Для задач с реальными координатами единицы не изменяются: если начальные координаты измерены в километрах, координаты середины тоже в километрах. Середина может располагаться между целочисленными узлами сетки; это не ошибка и не основание округлять ответ. Если две точки совпадают, их середина совпадает с каждой из них: формула продолжает работать.