Синус двойного угла в вычислительных задачах — мини-тест с разбором для 10 класса

Исследовательский вход

Выберите два угла: 30° и 60°. Вычислите синусы их удвоенных углов и сравните с произведениями 2sin α cos α. Для 30° обе записи дают √3/2; для 60° — тоже √3/2. Совпадение не случайность: sin 2α = 2sin α cos α. Формула верна для любого действительного α; значения синуса и косинуса могут иметь разные знаки.

Таблица 1. Из угла к числу

Для углов 15°, 75° полезно применить известные значения sin 30° и sin 150°, после удвоения всё сводится к стандартным углам. При вычислении углов 105° и 120° особенно следите за знаком косинуса.

1. Вычислите sin(2·15°). Сначала укажите удвоенный угол, затем используйте формулу.
2. Вычислите sin(2·30°). Сначала укажите удвоенный угол, затем используйте формулу.
3. Вычислите sin(2·45°). Сначала укажите удвоенный угол, затем используйте формулу.
4. Вычислите sin(2·60°). Сначала укажите удвоенный угол, затем используйте формулу.
5. Вычислите sin(2·75°). Сначала укажите удвоенный угол, затем используйте формулу.
6. Вычислите sin(2·105°). Сначала укажите удвоенный угол, затем используйте формулу.
7. Вычислите sin(2·120°). Сначала укажите удвоенный угол, затем используйте формулу.
8. Вычислите sin(2·150°). Сначала укажите удвоенный угол, затем используйте формулу.

Таблица 2. Данные из разных четвертей

Проверяйте совместимость данных: для реального угла должно быть sin² α + cos² α = 1. Затем перемножайте два значения, не упуская их знаки. Даже когда угол α не задан в градусах, sin 2α уже однозначно вычисляется.

9. Угол α находится в I четверти. sin α=3/5, cos α=4/5. Вычислите sin 2α.
10. Угол α находится в II четверти. sin α=5/13, cos α=-12/13. Вычислите sin 2α.
11. Угол α находится в III четверти. sin α=-8/17, cos α=-15/17. Вычислите sin 2α.
12. Угол α находится в IV четверти. sin α=-7/25, cos α=24/25. Вычислите sin 2α.
13. Угол α находится в I четверти. sin α=20/29, cos α=21/29. Вычислите sin 2α.
14. Угол α находится в II четверти. sin α=9/41, cos α=-40/41. Вычислите sin 2α.
15. Угол α находится в IV четверти. sin α=-3/5, cos α=4/5. Вычислите sin 2α.
16. Угол α находится в III четверти. sin α=-5/13, cos α=-12/13. Вычислите sin 2α.
17. Угол α находится в II четверти. sin α=8/17, cos α=-15/17. Вычислите sin 2α.
18. Угол α находится в I четверти. sin α=7/25, cos α=24/25. Вычислите sin 2α.
19. Угол α находится в IV четверти. sin α=-20/29, cos α=21/29. Вычислите sin 2α.
20. Угол α находится в III четверти. sin α=-9/41, cos α=-40/41. Вычислите sin 2α.

Мини-тест 3. Применение формулы в обратную сторону

В задачах 21–24 нужно использовать формулу непосредственно. В 25–28 распознавайте тот же самый закон в разных видах, а не пытайтесь находить α.

21. Известно, что sin α · cos α = 1/4. Найдите sin 2α и обоснуйте множитель 2.
22. Известно, что sin α · cos α = -3/10. Найдите sin 2α и обоснуйте множитель 2.
23. Известно, что sin α · cos α = 2/7. Найдите sin 2α и обоснуйте множитель 2.
24. Известно, что sin α · cos α = -1/5. Найдите sin 2α и обоснуйте множитель 2.
25. Перепишите или упростите выражение sin(α+α), используя формулу двойного угла.
26. Перепишите или упростите выражение 2sin α cos α, используя формулу двойного угла.
27. Перепишите или упростите выражение sin(2α)/2, используя формулу двойного угла.
28. Перепишите или упростите выражение sin(α+α)−2sin α cos α, используя формулу двойного угла.

Закономерности и выводы

Вы заметите, что знак синуса двойного угла задаётся произведением знаков sin α и cos α. В I и III четвертях их знаки одинаковы, поэтому sin 2α положителен; во II и IV — противоположны, поэтому он отрицателен. На осях один из множителей может оказаться нулём. Кроме того, |sin 2α| не превышает 1: если получилось 1,3 или −1,2, вычисление надо пересмотреть.

При проверке удобно подписывать по одной строке на задание: значение первого множителя, второго множителя, итог. Учителю достаточно увидеть эту цепочку, чтобы отличить проблему со знаком от ошибки в дробях. Повторно решайте только неудачные пункты: одно упражнение из таблицы углов, одно из таблицы четвертей и одно на обратную запись.

Разбор неочевидных результатов

Почему sin(2·105°) отрицателен? После удвоения угол равен 210°, а эта точка лежит в III четверти: синус там отрицателен. То же получается из произведения. При α=105° синус положителен, косинус отрицателен, поэтому 2sinαcosα отрицательно. Проверка сразу двумя способами — по углу и по знакам множителей — делает ошибку менее вероятной.

Для α=150° удвоенный угол равен 300°. Синус 300° равен −√3/2. Важно не написать sin300°=sin60°: опорный угол действительно 60°, но знак нужно брать из IV четверти. При α=45° результат равен sin90°=1, и это максимально возможный синус. Формула даёт то же: 2·(√2/2)·(√2/2)=1. Из этого примера видно, что множитель 2 в формуле необходим.

Как работать с рациональными парами

Даны sinα=5/13 и cosα=−12/13. Эти значения соответствуют II четверти: синус положителен, косинус отрицателен. Применяем формулу: sin2α=2·5/13·(−12/13)=−120/169. Не нужно находить градусную меру угла или рисовать масштабный треугольник. Главное — обе координаты должны принадлежать одной точке единичной окружности: 25/169+144/169=1.

Другой пример: sinα=−8/17 и cosα=−15/17. Оба множителя отрицательны, следовательно sin2α=2·(−8/17)·(−15/17)=240/289. Отрицательный синус исходного угла сам по себе не означает, что синус двойного угла отрицателен. Здесь решающим является знак произведения, поэтому в ответе получаем положительную дробь. Именно ради такого различия в таблице есть углы всех четырёх четвертей.

Контроль правильности числовых ответов

Проверка строится в три действия. Сначала убедитесь, что исходная пара удовлетворяет равенству sin²α+cos²α=1, иначе данные противоречивы. Далее вычислите произведение без округления и умножьте его на 2. Затем оцените модуль: он не может превышать единицу. Последнее не заменяет вычисление, но сразу выявляет ответы вроде 3/2 и 5/4. Особенно аккуратно работайте с отрицательными дробями: знак выносите перед произведением, чтобы не потерять его при сокращении.

Сравнение двух методов тоже полезно: если известна точная мера α, можно вычислить sin(2α) по удвоенному углу и по произведению значений sinα cosα. В заданиях, где дано только произведение, первый способ недоступен, но формула работает без ограничений. Учитель может предложить учащимся объяснить, почему sin2α не зависит от того, в каких единицах далее измеряется угол, если формула записана согласованно: здесь используются градусы, однако тождество универсально.

Два учебных случая, когда решение можно сократить

При α=15° имеем sin2α=sin30°=1/2. Это прямой и быстрый способ. Если же требуется обязательно показать формулу двойного угла, воспользуйтесь тождеством sin30°=2sin15°cos15°. Числовые значения синуса и косинуса 15° вычислять отдельно не нужно, если задача проверяет именно распознавание удвоенного угла. Такое сокращение соответствует здравому смыслу решения.

При α=75° удвоение даёт 150°, поэтому sin2α=sin150°=1/2. Сравните с α=15°: разные исходные углы дали одно значение. Причина в симметрии синуса: sin30°=sin150°. Не делайте вывод, что исходные углы одинаковы. Это полезное наблюдение для поиска ошибок при обратных задачах, где по sin2α нельзя вообще однозначно восстановить α без дополнительных ограничений.

В таблице с дробями можно проверить результат на независимом наборе: sinα=3/5, cosα=4/5. Тогда sin2α=24/25. Если изменить только знак косинуса, ответ станет −24/25, хотя квадраты исходных данных не изменятся. Следовательно, знак sin2α действительно зависит от четверти и не восстанавливается только по sin²α или cos²α.

Итоговая самодиагностика

Отметьте, где возникло затруднение. Если ошибка появилась ещё до умножения — повторите расположение углов на единичной окружности и знаки синуса и косинуса. Если вы правильно нашли знаки, но получили неверную дробь, проверьте сокращение числителя и знаменателя. Если ответ отличается ровно вдвое, вероятно, пропущен коэффициент 2. Если получено то же число с противоположным знаком, проверьте четверть исходного угла. Эти четыре ситуации требуют разных исправлений.

Для устного закрепления предложите соседу по парте придумать по одному углу в каждой четверти, не вычисляя их точные значения. Пусть он назовёт только знак sin2α. Проверка проводится по произведению знаков sinα и cosα. После этого выберите одну рациональную пару из таблицы 2 и оформите полный расчёт. Комбинация устного объяснения и записи обычно надёжнее механического повторения длинной таблицы.