Синус острого угла прямоугольного треугольника — карточки по математике для 9 класса

Опорный чертёж: сначала определите противолежащий катет

В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°, поэтому AB — гипотенуза. Для острого угла A противолежащий катет — BC, значит sin A = BC/AB. Для угла B противолежащий катет — AC, значит sin B = AC/AB. Синус острого угла — число строго между 0 и 1; если получилось больше 1, в записи есть ошибка.

Нарисуйте прямоугольный треугольник и подпишите A, B, C так, чтобы у C был прямой угол. Далее отметьте цветным карандашом гипотенузу AB, а другим — сторону, лежащую напротив выбранного острого угла. Положение рисунка на листе не влияет на то, какая сторона является противолежащей: решают буквы при вершинах.

Диагностика: 10 коротких вычислений (1–10)

1. В △ABC (∠C = 90°): BC = 3, AC = 4, AB = 5. Найдите sin A и сократите дробь.
2. В △ABC (∠C = 90°): BC = 5, AC = 12, AB = 13. Найдите sin B и сократите дробь.
3. В △ABC (∠C = 90°): BC = 8, AC = 15, AB = 17. Найдите sin A и сократите дробь.
4. В △ABC (∠C = 90°): BC = 7, AC = 24, AB = 25. Найдите sin B и сократите дробь.
5. В △ABC (∠C = 90°): BC = 20, AC = 21, AB = 29. Найдите sin A и сократите дробь.
6. В △ABC (∠C = 90°): BC = 9, AC = 40, AB = 41. Найдите sin B и сократите дробь.
7. В △ABC (∠C = 90°): BC = 12, AC = 35, AB = 37. Найдите sin A и сократите дробь.
8. В △ABC (∠C = 90°): BC = 11, AC = 60, AB = 61. Найдите sin B и сократите дробь.
9. В △ABC (∠C = 90°): BC = 16, AC = 63, AB = 65. Найдите sin A и сократите дробь.
10. В △ABC (∠C = 90°): BC = 28, AC = 45, AB = 53. Найдите sin B и сократите дробь.

После этой серии ещё раз проверьте, что в знаменателе всегда стояла гипотенуза. Если попутали синус с косинусом, обе дроби часто выглядят правдоподобно; правильный выбор стороны надо подтверждать относительно конкретного угла, а не «по рисунку справа».

Карточки среднего уровня: найдите противолежащий катет (11–18)

Из sin A = BC/AB следует BC = AB · sin A. Здесь дробь для синуса уже указана: результат должен совпасть с длиной катета и быть меньше гипотенузы.

11. В △ABC (∠C = 90°) AB = 5 см, sin A = 3/5. Найдите BC (в сантиметрах).
12. В △ABC (∠C = 90°) AB = 13 см, sin A = 5/13. Найдите BC (в сантиметрах).
13. В △ABC (∠C = 90°) AB = 17 см, sin A = 8/17. Найдите BC (в сантиметрах).
14. В △ABC (∠C = 90°) AB = 25 см, sin A = 7/25. Найдите BC (в сантиметрах).
15. В △ABC (∠C = 90°) AB = 29 см, sin A = 20/29. Найдите BC (в сантиметрах).
16. В △ABC (∠C = 90°) AB = 41 см, sin A = 9/41. Найдите BC (в сантиметрах).
17. В △ABC (∠C = 90°) AB = 37 см, sin A = 12/37. Найдите BC (в сантиметрах).
18. В △ABC (∠C = 90°) AB = 61 см, sin A = 11/61. Найдите BC (в сантиметрах).

Карточки повышенного уровня: найдите гипотенузу (19–24)

Если известен противолежащий катет и его отношение к гипотенузе, гипотенуза равна BC/sin A. Делить на ноль нельзя, но для острого угла его синус положителен. В каждом задании дополнительно проверьте, что полученная гипотенуза длиннее катета.

19. В △ABC с прямым углом C известно: BC = 5 м, sin A = 5/13. Найдите AB.
20. В △ABC с прямым углом C известно: BC = 8 м, sin A = 8/17. Найдите AB.
21. В △ABC с прямым углом C известно: BC = 7 м, sin A = 7/25. Найдите AB.
22. В △ABC с прямым углом C известно: BC = 20 м, sin A = 20/29. Найдите AB.
23. В △ABC с прямым углом C известно: BC = 9 м, sin A = 9/41. Найдите AB.
24. В △ABC с прямым углом C известно: BC = 12 м, sin A = 12/37. Найдите AB.

Реальные ситуации: синус как отношение высоты к длине (25–28)

Здесь угол между лестницей (или подъёмом) и горизонталью образует прямоугольный треугольник. Длина наклонной стороны — гипотенуза, вертикальная высота — противолежащий катет. В условных школьных моделях считаем пол и стену перпендикулярными, толщиной предметов пренебрегаем.

25. Лестница длиной 5 м образует с полом угол α, для которого sin α = 3/5. На какой высоте её верхний край?
26. Пандус длиной 10 м образует с горизонталью угол α, для которого sin α = 1/5. Найдите подъём.
27. Высота подъёма 4 м, sin α = 2/5. Какова длина наклонной дорожки?
28. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, sin A = 7/25. Найдите противолежащий катет и объясните, почему ответ меньше гипотенузы.

Ключ для учителя: значения и обратная проверка

1. sin A = 3/5 = 3/5. Противолежащая сторона — BC.
2. sin B = 12/13 = 12/13. Противолежащая сторона — AC.
3. sin A = 8/17 = 8/17. Противолежащая сторона — BC.
4. sin B = 24/25 = 24/25. Противолежащая сторона — AC.
5. sin A = 20/29 = 20/29. Противолежащая сторона — BC.
6. sin B = 40/41 = 40/41. Противолежащая сторона — AC.
7. sin A = 12/37 = 12/37. Противолежащая сторона — BC.
8. sin B = 60/61 = 60/61. Противолежащая сторона — AC.
9. sin A = 16/65 = 16/65. Противолежащая сторона — BC.
10. sin B = 45/53 = 45/53. Противолежащая сторона — AC.

11. BC = 5 · 3/5 = 3 см. Обратная проверка: 3/5 = 3/5.
12. BC = 13 · 5/13 = 5 см. Обратная проверка: 5/13 = 5/13.
13. BC = 17 · 8/17 = 8 см. Обратная проверка: 8/17 = 8/17.
14. BC = 25 · 7/25 = 7 см. Обратная проверка: 7/25 = 7/25.
15. BC = 29 · 20/29 = 20 см. Обратная проверка: 20/29 = 20/29.
16. BC = 41 · 9/41 = 9 см. Обратная проверка: 9/41 = 9/41.
17. BC = 37 · 12/37 = 12 см. Обратная проверка: 12/37 = 12/37.
18. BC = 61 · 11/61 = 11 см. Обратная проверка: 11/61 = 11/61.

19. AB = 5 : 5/13 = 13 м. Проверка: 5/13 = 5/13.
20. AB = 8 : 8/17 = 17 м. Проверка: 8/17 = 8/17.
21. AB = 7 : 7/25 = 25 м. Проверка: 7/25 = 7/25.
22. AB = 20 : 20/29 = 29 м. Проверка: 20/29 = 20/29.
23. AB = 9 : 9/41 = 41 м. Проверка: 9/41 = 9/41.
24. AB = 12 : 12/37 = 37 м. Проверка: 12/37 = 12/37.

25. 3 м: 5·3/5 = 3 м.
26. 2 м: 10·1/5 = 2 м.
27. 10 м: 4 : (2/5) = 10 м.
28. 7 см: 25·7/25 = 7 см, так как 7/25 < 1.

Метод проверки каждого ответа: сначала определите прямой угол и гипотенузу, затем запишите отношение двух названных сторон. Для обратной проверки умножения делите найденный противолежащий катет на исходную гипотенузу; для деления найдите исходный синус. Численное значение синуса обязательно находится в пределах от 0 до 1, не включая крайние значения для острых углов.

Промежуточная шкала: 1–10 — обнаружение нужных сторон; 11–18 — нахождение катета; 19–24 — нахождение гипотенузы; 25–28 — перенос навыка на модель. Для учащихся, которым трудно ориентироваться в обозначениях, полезно дать два разных чертежа одного и того же треугольника: формула sin A останется неизменной при повороте листа.

Частые ошибки: ставят в числитель прилежащий катет, делят гипотенузу на катет при поиске синуса, считают BC гипотенузой потому, что этот отрезок выглядит длиннее на схеме, не сокращают дробь. Чертежи не обязаны быть выполнены в масштабе; используйте вычисления и обозначения, а не визуальные впечатления. Если задача дана на квадратном листе, учитель может попросить пометить «против» у катета и «гип» у гипотенузы.

Для самостоятельной работы выберите один уровень, соответствующий уже изученной теме. В школьных программах России и Казахстана знакомство с тригонометрическими отношениями может приходиться на разные уроки; здесь используется только определение синуса острого угла прямоугольного треугольника и простые рациональные значения.

Почему можно доверять числам в условии

Во всех вычислительных заданиях с тремя указанными сторонами размеры подобраны так, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Например, для треугольника со сторонами 8, 15, 17 получаем 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Это подтверждает возможность такого прямоугольного треугольника. Но для нахождения синуса не требуется вновь применять теорему Пифагора: достаточно разделить противолежащий катет на гипотенузу.

В заданиях 11–24 ученик не обязан восстанавливать неизвестный второй катет. Условие сообщает отношение sin A и одну длину, поэтому достаточно одного действия умножения или деления. Если ученик выбирает длинный путь через построение, попросите сравнить его с прямой формулой и объяснить, почему оба дают один результат.

Диагностическая таблица типичных ответов

Запись sin A = AC/AB свидетельствует о путанице между противолежащим и прилежащим катетами. Запись sin A = AB/BC указывает, что дробь перевёрнута. Запись sin A = BC/AC означает смешение тангенса и синуса. Каждой ошибке соответствует короткое действие по исправлению: снова назвать прямой угол, определить гипотенузу и отметить нужный катет относительно угла A.