Система двух квадратных уравнений с симметричными условиями: задачи и решения для 8 класса

Это рабочий лист для задач, в которых неизвестные x и y входят симметрично: в выражения x² + y² и xy. Порядок чисел в системе важен, поэтому ответы записываются упорядоченными парами (x; y). По условию этой работы ищем действительные решения, если отдельно не сказано «целые».

Алгоритм без угадывания

1. Для системы x² + y² = A, xy = B вычислите (x + y)² = A + 2B и (x − y)² = A − 2B.
2. Если хотя бы одно из A + 2B или A − 2B отрицательно, действительных решений нет. Иначе x + y = ±√(A + 2B), x − y = ±√(A − 2B).
3. Для каждой комбинации знаков найдите x = ((x + y) + (x − y))/2 и y = ((x + y) − (x − y))/2; повторяющиеся пары считайте один раз. Подставьте обе координаты в исходные уравнения.

В отличие от подбора двух чисел по известной сумме и произведению, здесь знак суммы неизвестен: из квадрата нельзя выбирать только положительный корень. Именно поэтому положительное произведение часто даёт и положительную, и отрицательную пары.

Пример. x² + y² = 13, xy = 6. Получаем (x+y)²=25, (x−y)²=1. Сумма может быть ±5, разность ±1. Решения: (3;2), (2;3), (−2;−3), (−3;−2). Проверка любой пары: квадраты дают 13, произведение — 6.

Вариант I — 8 независимых систем

Решите каждую систему в действительных числах. Запишите все упорядоченные пары. Если решений нет, поясните это неравенством.

1. x² + y² = 10, xy = 3. Место для преобразований: __________________________
2. x² + y² = 20, xy = 8. Место для преобразований: __________________________
3. x² + y² = 17, xy = -4. Место для преобразований: __________________________
4. x² + y² = 8, xy = 4. Место для преобразований: __________________________
5. x² + y² = 16, xy = 0. Место для преобразований: __________________________
6. x² + y² = 5, xy = 3. Место для преобразований: __________________________
7. x² + y² = 34, xy = 15. Место для преобразований: __________________________
8. x² + y² = 29, xy = -10. Место для преобразований: __________________________

Вариант II — 8 независимых систем

Решите каждую систему в действительных числах. Запишите все упорядоченные пары. Если решений нет, поясните это неравенством.

1. x² + y² = 18, xy = -9. Место для преобразований: __________________________
2. x² + y² = 5, xy = 2. Место для преобразований: __________________________
3. x² + y² = 25, xy = 12. Место для преобразований: __________________________
4. x² + y² = 50, xy = 25. Место для преобразований: __________________________
5. x² + y² = 20, xy = -8. Место для преобразований: __________________________
6. x² + y² = 13, xy = -6. Место для преобразований: __________________________
7. x² + y² = 9, xy = 0. Место для преобразований: __________________________
8. x² + y² = 32, xy = 16. Место для преобразований: __________________________

Ключ с проверкой результатов

Проверка для каждого пункта: сначала посмотрите на A + 2B и A − 2B. Затем сравните полученные пары с условиями A = x² + y² и B = xy.

Ответы к варианту I

1. 1. A + 2B = 16; A − 2B = 4; пары (-3; -1), (-1; -3), (1; 3), (3; 1). Проверка: для каждой x²+y²=10, xy=3.
2. 2. A + 2B = 36; A − 2B = 4; пары (-4; -2), (-2; -4), (2; 4), (4; 2). Проверка: для каждой x²+y²=20, xy=8.
3. 3. A + 2B = 9; A − 2B = 25; пары (-4; 1), (-1; 4), (1; -4), (4; -1). Проверка: для каждой x²+y²=17, xy=-4.
4. 4. A + 2B = 16; A − 2B = 0; пары (-2; -2), (2; 2). Проверка: для каждой x²+y²=8, xy=4.
5. 5. A + 2B = 16; A − 2B = 16; пары (-4; 0), (0; -4), (0; 4), (4; 0). Проверка: для каждой x²+y²=16, xy=0.
6. 6. Решений нет: A + 2B = 11; A − 2B = -1; квадрат не может быть отрицательным.
7. 7. A + 2B = 64; A − 2B = 4; пары (-5; -3), (-3; -5), (3; 5), (5; 3). Проверка: для каждой x²+y²=34, xy=15.
8. 8. A + 2B = 9; A − 2B = 49; пары (-5; 2), (-2; 5), (2; -5), (5; -2). Проверка: для каждой x²+y²=29, xy=-10.

Ответы к варианту II

1. 1. A + 2B = 0; A − 2B = 36; пары (-3; 3), (3; -3). Проверка: для каждой x²+y²=18, xy=-9.
2. 2. A + 2B = 9; A − 2B = 1; пары (-2; -1), (-1; -2), (1; 2), (2; 1). Проверка: для каждой x²+y²=5, xy=2.
3. 3. A + 2B = 49; A − 2B = 1; пары (-4; -3), (-3; -4), (3; 4), (4; 3). Проверка: для каждой x²+y²=25, xy=12.
4. 4. A + 2B = 100; A − 2B = 0; пары (-5; -5), (5; 5). Проверка: для каждой x²+y²=50, xy=25.
5. 5. A + 2B = 4; A − 2B = 36; пары (-4; 2), (-2; 4), (2; -4), (4; -2). Проверка: для каждой x²+y²=20, xy=-8.
6. 6. A + 2B = 1; A − 2B = 25; пары (-3; 2), (-2; 3), (2; -3), (3; -2). Проверка: для каждой x²+y²=13, xy=-6.
7. 7. A + 2B = 9; A − 2B = 9; пары (-3; 0), (0; -3), (0; 3), (3; 0). Проверка: для каждой x²+y²=9, xy=0.
8. 8. A + 2B = 64; A − 2B = 0; пары (-4; -4), (4; 4). Проверка: для каждой x²+y²=32, xy=16.

Пограничные случаи и правила оценивания

При xy = 0 хотя бы одно число равно нулю, но его можно поставить как на первое, так и на второе место. При A = 2|B| некоторые знаки дают одинаковые пары: не считайте совпадения разными корнями. Если оба радикала существуют, но не являются целыми, система всё равно может иметь действительные решения; условие о целых числах должно быть сформулировано отдельно.

За каждую систему: 1 балл за корректный переход к двум квадратам и 1 балл за все пары или обоснование отсутствия решений. Максимум 16 баллов за вариант. Ответ с потерянными отрицательными решениями неполон; за это снимается балл за итог. Свойства симметрии не заменяют контрольную подстановку.