Система двух линейных неравенств — упражнения для печати, 8 класс

Здесь решают два линейных неравенства одновременно. Ответ системы — не объединение, а пересечение множеств: число должно подходить сразу к обоим условиям. Маршрут включает четыре остановки и контроль из шести задач, что позволяет использовать материал как упражнение с постепенным повышением сложности или печатную самостоятельную работу.

Маршрут: два луча — одно общее множество

У системы x ≥ 1 и x < 5 общая часть — [1; 5). Нарисуйте две отдельные прямые, отметьте решения каждой, затем на третьей оставьте только общее. Если лучи расходятся, как у x > 3 и x ≤ 3, общих точек нет: ответ ∅. Равенство границ иногда даёт единственное число, например x ≥ 2 и x ≤ 2.

Контрольная точка 1. Два готовых луча

Решите оба неравенства, отметьте общую часть одним штрихом, запишите итоговый числовой промежуток. Удобно начинать с систем, где границы — целые числа.

1. Система { x > 1; x < 7 }. Решение: __________________.
2. Система { x ≥ -3; x ≤ 2 }. Решение: __________________.
3. Система { 2x > 4; x ≤ 8 }. Решение: __________________.
4. Система { x + 3 ≤ 7; x > -2 }. Решение: __________________.

Контрольная точка 2. Раскрываем границы

Прежде чем искать общую часть, приведите каждое неравенство к виду x > a, x ≥ a, x < b или x ≤ b. Вторая половина примеров проверяет умение менять направление знака при делении на отрицательный коэффициент.

5. Система { 2x + 1 < 11; −x < 1 }. Решение: __________________.
6. Система { -2x ≤ 6; 3x > -3 }. Решение: __________________.
7. Система { 4x + 2 ≥ 10; -2x + 1 > -7 }. Решение: __________________.
8. Система { 3x − 1 > 5; 2x + 1 ≤ 15 }. Решение: __________________.

Контрольная точка 3. Пустое пересечение или одна точка?

Обратите внимание на строгость знака: системы с границами, совпадающими в одной точке, могут иметь либо ровно одну общую точку, либо ни одной. Отдельно подпишите вывод «одна точка», «нет решений» или «промежуток».

9. Система { x ≥ 4; x < 4 }. Решение: __________________.
10. Система { 2x ≤ 6; x > 5 }. Решение: __________________.
11. Система { x ≥ -1; x ≤ -1 }. Решение: __________________.
12. Система { -3x < 9; x ≤ -3 }. Решение: __________________.

Контрольная точка 4. Разные коэффициенты

Соблюдайте порядок: сначала решите левое неравенство, затем правое, потом пересеките найденные интервалы. Нельзя сложить два неравенства и считать полученное условие ответом всей системы.

13. Система { 2x − 3 ≥ 1; -2x + 5 ≥ -3 }. Решение: __________________.
14. Система { 3x + 1 < 16; −x − 2 ≤ 2 }. Решение: __________________.
15. Система { -4x + 3 > -9; 2x + 1 ≥ 5 }. Решение: __________________.
16. Система { 5x − 2 ≤ 18; -3x + 2 < 11 }. Решение: __________________.

Финальный тест без подсказок

Выделите на финальный тест отдельные 12 минут. Все вычисления покажите в тетради, но итог запишите только промежутком; если ответ пуст, используйте символ ∅. После проверки найдите хотя бы одно число для подстановки во все непустые ответы.

17. Система { 2x + 3 < 9; x − 4 > -1 }. Решение: __________________.
18. Система { 3x − 2 ≥ 7; −x + 5 ≥ 2 }. Решение: __________________.
19. Система { 4x + 1 ≤ 13; x > 0 }. Решение: __________________.
20. Система { x ≥ 6; x ≤ 6 }. Решение: __________________.
21. Система { -2x + 1 < -7; x < 3 }. Решение: __________________.
22. Система { x > -4; -3x + 6 ≥ 0 }. Решение: __________________.

Подробный образец: почему пересечение — не объединение

Разберём систему 2x + 1 < 11 и −x < 1. Из первого неравенства получаем 2x < 10, то есть x < 5. Во втором делим на −1 и обязательно меняем знак: x > −1. На числовом луче первое условие разрешает числа слева от 5, второе — справа от −1. Общая часть лежит между этими границами: (−1; 5). Например, x = 0 проходит обе исходные проверки: 1 < 11 и 0 < 1. А x = 8 проходит только второе условие, поэтому ответом системы не является.

Для второй проверки возьмём x ≥ 4 и x < 4. Первое разрешает четвёрку и всё справа, второе — числа строго слева. Пересечение пусто, хотя каждое отдельное неравенство имеет бесконечно много решений. Наличие решений у каждого условия по отдельности не гарантирует наличия общего решения. Если оба знака нестрогие и направлены навстречу, например x ≥ 4 и x ≤ 4, остаётся одна точка 4, которую можно записать как {4} или [4; 4].

Промежуточную контрольную точку полезно выполнять вслух. Один ученик читает две границы, второй отмечает каждую на своей числовой прямой, третий объясняет, где штриховки совпали. Не нужно переносить бесконечность в квадратные скобки: этот символ не обозначает допустимую граничную точку. Если оба луча идут в одну сторону, берут более жёсткую границу, а не промежуток между их начальными точками.

В классе разного уровня можно разделить задания: первые четыре служат диагностикой чтения прямой, следующие четыре — для переноса и изменения знака, третья группа — для пустых пересечений, четвёртая — на полноценную алгебраическую запись. Последние шесть — итог. Такое деление облегчает разбор и не заставляет всех учеников выполнять один и тот же объём.

Три разобранные контрольные ситуации

Система x > 2 и x ≤ 8 имеет решение (2; 8]. Чтобы проверить запись, возьмите x = 3: три больше двух и не больше восьми. Возьмите x = 2: второе условие выполняется, первое — нет, значит левая граница открыта. Точка x = 8 разрешена обеими строками, поэтому правая граница закрыта. Именно так различают круглые и квадратные скобки не по памяти, а по подстановке.

В системе 3x − 1 > 5 и 2x + 1 ≤ 15 первое условие даёт x > 2, а второе x ≤ 7. Пересечение — (2; 7]. После вычисления полезно проверить любое внутреннее значение, например x = 4: 11 > 5 и 9 ≤ 15. Это лишь проверка одного решения, не доказательство полного интервала; полноту даёт изображение двух лучей на одной прямой.

Если x ≥ 6 и x ≤ 6, пересечение не является пустым: подходит единственное число 6. В некоторых учебниках ответ записывают {6}, в других [6; 6]. Обе записи обозначают одно и то же множество. Если хотя бы один знак заменить на строгий, точка 6 исключается и общих решений не остаётся. Это ключевой переход для контрольной точки с пустыми промежутками.

Для промежуточной самопроверки задайте себе три вопроса: «Решил ли я обе строки?», «Изменил ли я знак после деления на отрицательный коэффициент?», «Проверил ли я принадлежность конечных точек?» Если хотя бы на один вопрос ответ «нет», итоговый интервал преждевременно переписывать в чистовик. Исправлять лучше исходную строку, на которой произошла ошибка.

Ключ с кратким ходом рассуждения

1. x > 1; x < 7. Пересечение: (1; 7). Учитывайте принадлежность граничных точек.
2. x ≥ -3; x ≤ 2. Пересечение: [-3; 2]. Учитывайте принадлежность граничных точек.
3. x > 2; x ≤ 8. Пересечение: (2; 8]. Учитывайте принадлежность граничных точек.
4. x ≤ 4; x > -2. Пересечение: (-2; 4]. Учитывайте принадлежность граничных точек.
5. x < 5; x > -1. Пересечение: (-1; 5). Учитывайте принадлежность граничных точек.
6. x ≥ -3; x > -1. Пересечение: (-1; +∞). Учитывайте принадлежность граничных точек.
7. x ≥ 2; x < 4. Пересечение: [2; 4). Учитывайте принадлежность граничных точек.
8. x > 2; x ≤ 7. Пересечение: (2; 7]. Учитывайте принадлежность граничных точек.
9. x ≥ 4; x < 4. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
10. x ≤ 3; x > 5. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
11. x ≥ -1; x ≤ -1. Пересечение: [-1; -1]. Учитывайте принадлежность граничных точек.
12. x > -3; x ≤ -3. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
13. x ≥ 2; x ≤ 4. Пересечение: [2; 4]. Учитывайте принадлежность граничных точек.
14. x < 5; x ≥ -4. Пересечение: [-4; 5). Учитывайте принадлежность граничных точек.
15. x < 3; x ≥ 2. Пересечение: [2; 3). Учитывайте принадлежность граничных точек.
16. x ≤ 4; x > -3. Пересечение: (-3; 4]. Учитывайте принадлежность граничных точек.
17. x < 3; x > 3. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
18. x ≥ 3; x ≤ 3. Пересечение: [3; 3]. Учитывайте принадлежность граничных точек.
19. x ≤ 3; x > 0. Пересечение: (0; 3]. Учитывайте принадлежность граничных точек.
20. x ≥ 6; x ≤ 6. Пересечение: [6; 6]. Учитывайте принадлежность граничных точек.
21. x > 4; x < 3. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
22. x > -4; x ≤ 2. Пересечение: (-4; 2]. Учитывайте принадлежность граничных точек.

Признаки полноценного решения: оба исходных неравенства преобразованы корректно, направление знака при отрицательном коэффициенте изменено, общая часть изображена без включения запрещённых границ. При оценивании можно дать 1 балл за решение каждого неравенства и 1 балл за пересечение — максимум 66 баллов. Для мини-работы выбирайте любые 6–8 номеров, а не весь маршрут.

Педагогический комментарий: особенно часто ошибаются в системе с одним и тем же числом на границах. Сравните № 9 и № 11: в одном случае точка не принадлежит хотя бы одному из лучей, а в другом принадлежит обоим. Эта разница помогает объяснить, зачем в ответе круглые и квадратные скобки.