Система уравнений по общему числу колёс и транспортных средств — задания на закрепление, 7 класс

Во дворе предприятия стоят двухколёсные велосипеды и четырёхколёсные легковые автомобили. В условной модели не учитываем запасные колёса, прицепы и другие виды транспорта; все велосипеды имеют ровно два колеса, автомобили — четыре. Задача — по общему числу машин и колёс восстановить количество каждого вида.

Исходная ведомость и математическая модель

Из системы x+y=N, 2x+4y=W вычтем удвоенное первое уравнение из второго: 2y=W−2N. Значит, y=(W−2N)/2 — число автомобилей, а x=N−y — число велосипедов. Число y должно быть целым между 0 и N. Из этого сразу следует полезная проверка: 2N ≤ W ≤ 4N, причём W обязательно чётно.

Кейс: парковка у городского центра

Утром дежурный записал: 28 транспортных средств, 80 колёс. Найдите количество велосипедов и автомобилей.

Решение: x+y=28, 2x+4y=80. Удвоенное первое уравнение: 2x+2y=56; вычитание даёт 2y=24, y=12 автомобилей и x=16 велосипедов. Проверка: 16+12=28 единиц; 16×2+12×4=32+48=80 колёс.

Как отличить ошибку подсчёта от реального изменения

Если машина уезжает со стоянки, уменьшаются и общее количество транспорта, и количество колёс. Если приезжает велосипед, количество транспорта возрастает на один, а колёс — на два. Если одно транспортное средство заменяют другим, число единиц сохраняется, но число колёс меняется. Именно поэтому в первых двух заданиях важно прочитать глаголы «уехали», «приехали» и «заменили», а не только числа.

В отчёте по стоянке дополнительно проверяйте границы 2N и 4N. Если записано N=10, то невозможно получить меньше 20 или больше 40 колёс на десяти транспортных средствах данной модели. Чётность также обязательна: сумма нескольких двоек и четвёрок чётна. Но чётность и попадание в границы — только необходимые проверки; окончательный расчёт делается системой.

Краткий образец записи: «Пусть x — велосипеды, y — автомобили. Имеем x+y=N; 2x+4y=W. Отсюда y=(W−2N)/2; x=N−y». Подставляя числа, обязательно указывайте: N измеряется в штуках транспортных средств, W — в колёсах. Если получается дробное или отрицательное количество автомобилей, действительная парковка не могла соответствовать этим данным в выбранной модели.

Связанные задания к ведомости

1. Если после пересчёта уехали 3 автомобиля и приехали 2 велосипеда, сколько единиц транспорта и колёс стало во дворе?
2. При неизменных 28 единицах заменили 4 велосипеда четырьмя автомобилями. На сколько изменилось общее число колёс?
3. На вечерней смене во дворе 15 единиц и 50 колёс. Сколько транспорта каждого вида?
4. Во дворе 22 единицы и 64 колеса. Составьте систему и решите её.
5. На большой стоянке 37 единиц и 110 колёс. Найдите обе группы.
6. Днём были 20 единиц и 54 колеса. Какое количество автомобилей получил дежурный?
7. Другое отделение сообщило о 34 единицах и 104 колёсах. Сколько велосипедов?
8. На складе 12 единиц и 40 колёс. Какие две численности возможны по модели?
9. После мероприятия 25 единиц и 74 колеса. Найдите обе численности.
10. На площадке 17 единиц и 50 колёс. Определите x и y.
11. В отчёте указано 45 единиц и 138 колёс. Проверьте, сколько автомобилей и велосипедов.
12. Для 40 единиц указали 98 колёс. Сколько автомобилей? Проверьте обратным подсчётом.
13. Отчёт: 11 единиц и 33 колеса. Может ли он быть верным в принятой модели?
14. Отчёт: 16 единиц и 70 колёс. Возможно ли такое количество колёс без прицепов и запасных?

Решения: все 14 заданий

1. Стало 16+2=18 велосипедов и 12−3=9 автомобилей, всего 27 единиц. Колёс: 18×2+9×4=72. Проверка: изменение количества −1, колёс −12+4=−8, 80−8=72.

2. Число транспорта не меняется: 28. Колёс стало на 4×(4−2)=8 больше: 88. Речь именно о замене четырёх единиц, а не добавлении новых.

3. x+y=15, 2x+4y=50. Тогда 2y=50−2×15=20, y=10 автомобиля(ей), x=5 велосипеда(ов). Проверка: 5+10=15 единиц, 2×5+4×10=50 колёс.

4. x+y=22, 2x+4y=64. Тогда 2y=64−2×22=20, y=10 автомобиля(ей), x=12 велосипеда(ов). Проверка: 12+10=22 единиц, 2×12+4×10=64 колёс.

5. x+y=37, 2x+4y=110. Тогда 2y=110−2×37=36, y=18 автомобиля(ей), x=19 велосипеда(ов). Проверка: 19+18=37 единиц, 2×19+4×18=110 колёс.

6. x+y=20, 2x+4y=54. Тогда 2y=54−2×20=14, y=7 автомобиля(ей), x=13 велосипеда(ов). Проверка: 13+7=20 единиц, 2×13+4×7=54 колёс.

7. x+y=34, 2x+4y=104. Тогда 2y=104−2×34=36, y=18 автомобиля(ей), x=16 велосипеда(ов). Проверка: 16+18=34 единиц, 2×16+4×18=104 колёс.

8. x+y=12, 2x+4y=40. Тогда 2y=40−2×12=16, y=8 автомобиля(ей), x=4 велосипеда(ов). Проверка: 4+8=12 единиц, 2×4+4×8=40 колёс.

9. x+y=25, 2x+4y=74. Тогда 2y=74−2×25=24, y=12 автомобиля(ей), x=13 велосипеда(ов). Проверка: 13+12=25 единиц, 2×13+4×12=74 колёс.

10. x+y=17, 2x+4y=50. Тогда 2y=50−2×17=16, y=8 автомобиля(ей), x=9 велосипеда(ов). Проверка: 9+8=17 единиц, 2×9+4×8=50 колёс.

11. x+y=45, 2x+4y=138. Тогда 2y=138−2×45=48, y=24 автомобиля(ей), x=21 велосипеда(ов). Проверка: 21+24=45 единиц, 2×21+4×24=138 колёс.

12. x+y=40, 2x+4y=98. Тогда 2y=98−2×40=18, y=9 автомобиля(ей), x=31 велосипеда(ов). Проверка: 31+9=40 единиц, 2×31+4×9=98 колёс.

13. Невозможно. Любой транспорт в данной модели имеет чётное количество колёс, поэтому сумма колёс должна быть чётной. 33 — нечётное; кроме того, формула y=(33−22)/2=5,5 не даёт целого числа.

14. Невозможно. Для 16 единиц максимум 4×16=64 колеса, но заявлено 70. Формула y=(70−32)/2=19 автомобилей, то есть больше всех 16 единиц вместе.

Почему можно обойтись одним вычитанием

Если бы все N транспортных средств были велосипедами, колёс было бы 2N. Каждый автомобиль вместо велосипеда добавляет ровно два колеса, потому что у автомобиля их четыре, а у велосипеда два. Следовательно, избыток W−2N всегда равен удвоенному числу автомобилей. Этот арифметический способ полностью совпадает с методом сложения уравнений: мы просто вычитаем из уравнения колёс удвоенное уравнение числа транспортных средств.

Обратная проверка — не формальность. Например, пара 10 велосипедов и 12 автомобилей даёт 22 единицы и 68 колёс; если в условии было 64, решение неверно, хотя общее число единиц угадано. Только одновременная проверка обоих условий доказывает, что найденная пара действительно решает прикладную задачу.

Ещё три вопроса для обсуждения

• Можно ли поменять названия x и y? Да, если последовательно поменять коэффициенты в уравнении колёс.
• Что произойдёт при появлении трёхколёсного транспорта? Модель с двумя неизвестными перестанет охватывать реальную ситуацию; потребуется новое условие.
• Нужно ли указывать денежные единицы? Нет. В этой задаче x и y измеряются количеством транспортных средств, а W — колёсами.

Критерий: в пунктах 3–12 по одному баллу за систему, решение и обратную проверку; в 1–2 — по 3 балла, в 13–14 — по 2 балла за обоснованный вывод. При невозможных данных не подгоняйте ответ округлением.