Системы уравнений для сравнения двух тарифных планов — практикум с ответами для 7 класса

Этот практикум учит не чтению графика, а составлению и решению двух линейных уравнений стоимости. Тариф A состоит из платы за подключение F_A и ставки a за единицу пользования; B — из F_B и b. Модели: C_A = F_A + ax, C_B = F_B + bx. Пересечение расходов определяют системой y = F_A + ax; y = F_B + bx. Все платы указаны в тенге, x — число оплачиваемых единиц.

Что происходит на границе выгодности

Равенство стоимостей не всегда достижимо: тариф может ограничивать количество единиц; услуги могут оплачиваться только целыми пакетами; две прямые могут быть параллельны; при одинаковых формулах цены равны при любом x. Перед сравнением проверьте допустимые значения x и единицы. Если x < 0 получилось при решении, для реального расхода это не имеет смысла.

Разобранный пограничный случай. A: 40 + 9x, B: 100 + 3x, x — целое неотрицательное. Из 40 + 9x = 100 + 3x следует x = 10. До 10 единиц A дешевле, после 10 — B; при x = 10 стоимость обеих 130 тг. Если тариф действует только для x от 0 до 8, равная стоимость недостижима и A дешевле во всём разрешённом диапазоне.

Как выбирать сторону при пересечении

Недостаточно указать x и сказать «цены равны». Сравните начальные платы и ставки. Если один тариф имеет меньшую фиксированную плату, но большую цену за единицу, он удобен при малых объёмах. После точки равенства преимущество переходит к другому. Если оба коэффициента одного тарифа меньше соответствующих коэффициентов второго, пересечения на допустимой области x≥0 вообще нет.

Внимательно различайте стоимость одной поездки, одного месяца и двух месяцев. Плата подключения при единственном обращении начисляется один раз. Абонентская плата взимается за каждый месяц, поэтому при двух месяцах сумма постоянных частей равна двум месячным платам. Неверное число начислений сдвигает точку сравнения и меняет выбор.

Уровень I — составить систему и найти точку равенства (№ 1–8)

Для каждой пары укажите x, при котором цены равны, цену в этой точке и какой вариант выгоднее при x на две единицы меньше и на две единицы больше найденного значения. Ставки за 1 единицу одинаково применяются к обоим планам.

Уровень II — ограничение и дискретность (№ 9–16)

9. A = 15 + 8x, B = 45 + 5x. Найдите равную стоимость и более выгодный план при x = 11.
10. A = 30 + 9x, B = 87 + 6x. Договор разрешает лишь 0 ≤ x ≤ 15. Доступна ли равная стоимость?
11. A = 90 + 2x, B = 30 + 7x. При каком x стоимость одинакова? Какая дешевле при x=8?
12. A = 45 + 4x, B = 65 + 4x. Найдите равную стоимость и более выгодный план.
13. A = 18 + 5x, B = 18 + 5x. Сколько значений x дают одинаковую стоимость?
14. A = 20 + 11x, B = 59 + 8x. Только целые x от 0 до 12. Когда тарифы равны?
15. A = 100 + 2x, B = 30 + 9x. Найдите x и определите дешевле при x=9.
16. A = 16 + 10x, B = 61 + 4x. x — целое число блоков. Есть ли равенство?

Уровень III — прикладные ограничения (№ 17–24)

17. Курьер: A = 120 + 4x, B = 30 + 10x; 0 ≤ x ≤ 40 км. Равные расходы? Что выгоднее при 12 и 18 км?
18. Связь: A = 70 + 6x, B = 154 + 2x; x целое от 0 до 20. Может ли стоимость совпасть?
19. Аренда: A = 90 + 5x, B = 165 + 2x, x — любое неотрицательное число часов. Укажите момент равенства и сравните цены при x=24,5.
20. Тарифы: A = 50 + 3x, B = 98 + 6x, x≥0. Равны ли они когда-либо на допустимой области?
21. Пакеты данных: A = 30 + 12x, B = 90 + 7x, x — целое число пакетов. Найдите равенство и цену x=13.
22. Мастерская: A = 180 + 2x, B = 60 + 8x, x≥0. Когда платы равны и что выбрать при x=30?
23. Два месяца: A взимает 35 + 8x за месяц, B — 75 + 4x за месяц. Использование по месяцам: 8 и 12 единиц. Сравните общие платежи за два месяца.
24. A = 16x, B = 150 + 4x; x целое от 5 до 15. Существует ли целая точка равенства? Кто выгоднее при x=12 и x=13?

Проверка трёх уровней без графиков

Для первого уровня требуется найти именно решение системы y=C_A(x), y=C_B(x), а не произвольно подобрать два значения x. Для второго уровня нужно сначала получить алгебраическую точку пересечения и лишь потом сверить её с разрешённым множеством значений. Для третьего уровня добавляются физический смысл переменной и способ оплаты: часы могут дробиться, а число купленных пакетов обычно целое.

Если получено x=7,5, но x — число целых пакетов, правильный вывод: тарифы не дают одинакового счёта ни при каком допустимом количестве пакетов. Это не запрещает сравнить соседние значения x=7 и x=8: в них выгодность может различаться. Аналогично x=−16 при x≥0 означает отсутствие точки равенства в области практической задачи, а не платное «отрицательное потребление».

Ключ к уровню I: расчёты в системе

Ключ к уровню II: особые случаи

9. A = 15 + 8x, B = 45 + 5x. Найдите равную стоимость и более выгодный план при x = 11. Ответ: x=10, при 11 B дешевле: A=103, B=100 тг.
10. A = 30 + 9x, B = 87 + 6x. Договор разрешает лишь 0 ≤ x ≤ 15. Доступна ли равная стоимость? Ответ: x=19 вне допустимого интервала; A дешевле при всех разрешённых x.
11. A = 90 + 2x, B = 30 + 7x. При каком x стоимость одинакова? Какая дешевле при x=8? Ответ: x=12; при x=8 B=86 < A=106 тг.
12. A = 45 + 4x, B = 65 + 4x. Найдите равную стоимость и более выгодный план. Ответ: Равенства нет: A всегда на 20 тг дешевле при x≥0.
13. A = 18 + 5x, B = 18 + 5x. Сколько значений x дают одинаковую стоимость? Ответ: Любое разрешённое x≥0: уравнения совпадают.
14. A = 20 + 11x, B = 59 + 8x. Только целые x от 0 до 12. Когда тарифы равны? Ответ: x=13 вне диапазона; A дешевле на всех x=0…12.
15. A = 100 + 2x, B = 30 + 9x. Найдите x и определите дешевле при x=9. Ответ: x=10; при x=9 B=111 < A=118 тг.
16. A = 16 + 10x, B = 61 + 4x. x — целое число блоков. Есть ли равенство? Ответ: x=7,5; равенства при целых x нет. При 7 A=86 < B=89, при 8 B=93 < A=96.

Ключ к уровню III: полные решения

17. Курьер: A = 120 + 4x, B = 30 + 10x; 0 ≤ x ≤ 40 км. Равные расходы? Что выгоднее при 12 и 18 км? Решение: x=15 км, обе цены 180 тг. При 12 км A=168 тг, B=150 тг: B выгоднее. При 18 км A=192 тг, B=210 тг: A выгоднее.
18. Связь: A = 70 + 6x, B = 154 + 2x; x целое от 0 до 20. Может ли стоимость совпасть? Решение: Уравнение даёт x=21, вне интервала. Для каждого x от 0 до 20 A дешевле; при 20: 190 < 194 тг.
19. Аренда: A = 90 + 5x, B = 165 + 2x, x — любое неотрицательное число часов. Укажите момент равенства и сравните цены при x=24,5. Решение: x=25 ч, обе цены 215 тг. При 24,5 ч: A=212,5 тг, B=214 тг; A дешевле на 1,5 тг.
20. Тарифы: A = 50 + 3x, B = 98 + 6x, x≥0. Равны ли они когда-либо на допустимой области? Решение: x=−16 исключён; A дешевле для любого x≥0, поскольку у A меньше и стартовая плата, и ставка.
21. Пакеты данных: A = 30 + 12x, B = 90 + 7x, x — целое число пакетов. Найдите равенство и цену x=13. Решение: x=12 пакетов: по 174 тг. При x=13 A=186 тг, B=181 тг; B дешевле.
22. Мастерская: A = 180 + 2x, B = 60 + 8x, x≥0. Когда платы равны и что выбрать при x=30? Решение: x=20 единиц, цена 220 тг. При 30 A=240 тг, B=300 тг; A дешевле.
23. Два месяца: A взимает 35 + 8x за месяц, B — 75 + 4x за месяц. Использование по месяцам: 8 и 12 единиц. Сравните общие платежи за два месяца. Решение: A: (35+8×8)+(35+8×12)=99+131=230 тг. B: (75+4×8)+(75+4×12)=107+123=230 тг. За два месяца расходы равны.
24. A = 16x, B = 150 + 4x; x целое от 5 до 15. Существует ли целая точка равенства? Кто выгоднее при x=12 и x=13? Решение: x=12,5 нецелое, значит равенства в пакетах нет. При 12: A=192, B=198 — A дешевле; при 13: A=208, B=202 — B дешевле.

Проверка единиц: ставки тенге/км умножаются на километры, тариф тенге/час — на часы, а фиксированная плата начисляется ровно столько раз, сколько указано в договоре. В № 23 она начисляется дважды, в № 17 один раз. Дробные значения x разрешены лишь там, где услуга оплачивается непрерывно, а не целыми блоками.

Критерии: за каждый номер 1 балл за верную систему или равенство, 1 — за допустимое x, 1 — за проверенный вывод о выгоде. Максимум 72 балла. Неверное x при верной логике сравнения — одна вычислительная ошибка, а не отсутствие всего решения.