Скрещивающиеся прямые на модели куба для 10 класса — упражнения с разбором
Содержание статьи8 разделов
Сначала проверьте модель куба
Везде используется куб ABCD A₁B₁C₁D₁. Нижняя грань — ABCD, верхняя — A₁B₁C₁D₁, соединяющие рёбра AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ вертикальны. Будем говорить о ПРЯМЫХ, содержащих названные рёбра, а не только об отрезках.
Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. В пространстве отсутствие общей точки само по себе не означает скрещивание: прямые могут быть параллельными.
Диагностика: три коротких вопроса
- Сколько общих точек у параллельных, но различных прямых?
- Могут ли две прямые без общей точки быть скрещивающимися и при этом образовывать прямой угол?
- Если две прямые проходят через одну вершину куба, будут ли они скрещивающимися?
Проверьте: 1) общих точек нет; 2) да, угол между скрещивающимися прямыми определяется по параллельным переносам; 3) нет, они пересекаются. После этой проверки переходите к основным заданиям.
11 заданий: определите взаимное расположение
Запишите для каждой пары одно из трёх слов: «параллельны», «пересекаются», «скрещиваются». При затруднении представьте, как прямая продолжается за край куба. Положение прямых не зависит от длины ребра.
- AB и CC₁. Укажите положение и коротко обоснуйте.
- AB и A₁B₁. Укажите положение и коротко обоснуйте.
- AB и BC. Укажите положение и коротко обоснуйте.
- AD и B₁C₁. Укажите положение и коротко обоснуйте.
- BC и AA₁. Укажите положение и коротко обоснуйте.
- AB и DD₁. Укажите положение и коротко обоснуйте.
- AA₁ и BB₁. Укажите положение и коротко обоснуйте.
- CC₁ и CD. Укажите положение и коротко обоснуйте.
- B₁C₁ и DD₁. Укажите положение и коротко обоснуйте.
- A₁D₁ и BC. Укажите положение и коротко обоснуйте.
- BC и A₁B₁. Укажите положение и коротко обоснуйте.
Таблица самопроверки
| № | Правильный ответ | Почему |
|---|---|---|
| 1 | скрещиваются | AB направлена вдоль одной оси основания, CC₁ — вертикальна; общих точек нет, параллельными они не являются. |
| 2 | параллельны | Соответственные рёбра нижней и верхней граней имеют одно направление. |
| 3 | пересекаются | Имеют общую вершину B. |
| 4 | параллельны | Оба ребра идут от передней к задней части куба. |
| 5 | скрещиваются | Направления различны, а точки линии AA₁ не лежат на линии BC. |
| 6 | скрещиваются | Одно ребро нижней грани горизонтально, другое — вертикально при противоположной вершине. |
| 7 | параллельны | Оба отрезка — вертикальные рёбра. |
| 8 | пересекаются | Общая вершина C. |
| 9 | скрещиваются | Одно верхнее ребро направлено вдоль стороны основания, второе — вертикально; общих точек нет. |
| 10 | параллельны | Рёбра идут в одинаковом направлении вдоль боковых граней. |
| 11 | скрещиваются | Перпендикулярные направления, но разные грани и нет общей вершины. |
Как убедиться, что прямые именно скрещиваются
Можно мысленно провести через ребро AB плоскость нижней грани. Линия CC₁ выходит из этой плоскости в точке C, которая не принадлежит прямой AB. Поэтому общей плоскости, проходящей сразу через AB и CC₁, нет. Или воспользуйтесь координатами A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), C₁(a;a;a): направления AB=(a;0;0), CC₁=(0;0;a), совпадения точек не происходит.
Алгоритм определения: три проверки в одном порядке
Шаг 1. Проверьте, не совпадают ли направления двух прямых. У каждого ребра куба направление одно из трёх: вдоль AB, вдоль AD или вдоль AA₁. Если направления одинаковы, прямые параллельны (а различные рёбра не совпадают). Например, AD и B₁C₁ имеют одно направление, хотя на схеме находятся далеко друг от друга.
Шаг 2. Если направления разные, ищите общую точку. Для рёбер куба это обычно вершина, например C у CD и CC₁. Продолжение прямых теоретически может пересечься вне куба, но у прямых, параллельных координатным осям, достаточно проверить их закреплённые координаты. Если общая точка есть, линии пересекаются и образуют плоскость.
Шаг 3. Если направления разные и общей точки нет, прямые скрещиваются. Пример: AB находится на нижней передней грани, CC₁ вертикальна у противоположной вершины. Подвинуть ребро к другому, не меняя направления, чтобы увидеть прямой угол можно, но этот приём НЕ меняет исходного факта отсутствия общей точки.
Разница между «перпендикулярны» и «пересекаются»
В пространственной геометрии угол между скрещивающимися прямыми может равняться 90°: для определения угла используют параллельные им пересекающиеся линии. Поэтому слова «перпендикулярные направления» и «пересекающиеся прямые» не являются синонимами. Если в условии говорится только о взаимном расположении, запишите именно «скрещиваются», а не «перпендикулярны».
Как подготовиться к работе без рисунка: мысленно расположите A спереди слева внизу, B — справа, C — справа сзади, D — слева сзади. Над ними точно находятся A₁, B₁, C₁, D₁. Этой договорённости достаточно, чтобы каждую пару классифицировать по вершинам и направлениям.
Три типичные ошибки
- «Нет пересечения — значит скрещиваются». Неверно для AB и A₁B₁: они параллельны, а потому лежат в общей плоскости ABA₁B₁.
- «Рёбра образуют угол 90°, значит пересекаются». Необязательно: AB и CC₁ скрещиваются, хотя направления перпендикулярны.
- «Прямые нельзя продолжать за границы куба». Продолжать можно и нужно: взаимное расположение относится к целым прямым, содержащим рёбра.
Итоговая проверка: среди одиннадцати пар скрещивающихся — пять (№ 1, 5, 6, 9, 11), параллельных — четыре (№ 2, 4, 7, 10), пересекающихся — две (№ 3, 8). Если итог не совпал, вернитесь к общей вершине и направлению каждой пары.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.