Сложение векторов по правилу параллелограмма — задачи и ответы, 9 класс

Правило параллелограмма удобно, когда оба вектора отложены от одной точки. Достройте параллелограмм на этих векторах как на смежных сторонах: его диагональ из общего начала изображает сумму. Такой чертёж нужен для понимания направления результата, а не для измерения на глаз.

Правило за 30 секунд

Пусть OA = a и OB = b. Перенесите копию OA в точку B, а копию OB в точку A. Получится четвёртая вершина C; диагональ OC представляет a + b. В координатах это (aₓ + bₓ; aᵧ + bᵧ). Если векторы противоположны или параллельны, обычный невырожденный параллелограмм не получится, но координатная формула суммы остаётся верной.

Два разобранных примера

Пример 1. OA = (3; 1), OB = (−1; 4). Тогда OC = (3 − 1; 1 + 4) = (2; 5). Диагональ должна уходить вправо и вверх. Если на рисунке получен вектор (4; −3), скорее всего, выполнено вычитание вместо сложения.

Пример 2. OA = (−4; 2), OB = (2; −2). Сумма (−2; 0): диагональ горизонтальна влево. Два слагаемых не обязаны иметь одинаковую длину и направление, поэтому «взять средний угол» без расчёта нельзя.

Фамилия и имя: __________________________ Дата: __________ Класс: 9 ____

Самостоятельный тренажёр. Часть A: диагональ из общего начала

Для каждого номера изобразите мысленно или на клетчатой бумаге векторы OA = a и OB = b с общим началом O. Запишите координаты OC = a + b, затем коротко укажите направление (вправо, влево, вверх, вниз или по диагонали).

1. a = (2; 1), b = (1; 3). Найдите диагональ OC.
2. a = (4; -1), b = (-2; 2). Найдите диагональ OC.
3. a = (-3; 2), b = (1; 4). Найдите диагональ OC.
4. a = (0; 4), b = (3; -1). Найдите диагональ OC.
5. a = (5; 0), b = (-2; -3). Найдите диагональ OC.
6. a = (-1; -2), b = (-3; 5). Найдите диагональ OC.
7. a = (2; 5), b = (-2; -5). Найдите диагональ OC.
8. a = (7; -4), b = (-3; 1). Найдите диагональ OC.
9. a = (-4; -2), b = (6; 2). Найдите диагональ OC.
10. a = (3; 3), b = (3; -3). Найдите диагональ OC.

Часть B: смена знаков и особые случаи

Во второй десятке встречаются нулевые координаты, противоположные и одинаковые векторы. Если сумма оказалась нулевой, поясните, почему диагональ выродилась в точку. Не нужно подгонять картинку под привычный наклон.

1. a = (-5; 7), b = (2; -1). Найдите a + b; проверьте по знакам координат.
2. a = (1; -6), b = (4; 2). Найдите a + b; проверьте по знакам координат.
3. a = (9; 2), b = (-6; -5). Найдите a + b; проверьте по знакам координат.
4. a = (2; -8), b = (-5; 3). Найдите a + b; проверьте по знакам координат.
5. a = (-2; 0), b = (0; -4). Найдите a + b; проверьте по знакам координат.
6. a = (6; 6), b = (-3; -6). Найдите a + b; проверьте по знакам координат.
7. a = (-7; -1), b = (2; 4). Найдите a + b; проверьте по знакам координат.
8. a = (8; -3), b = (-1; 8). Найдите a + b; проверьте по знакам координат.
9. a = (-2; 5), b = (-2; 5). Найдите a + b; проверьте по знакам координат.
10. a = (4; 2), b = (-4; 2). Найдите a + b; проверьте по знакам координат.

Часть C: четыре задачи на смысл

1. У векторов OA и OB одно начало O. Какой отрезок со стрелкой в параллелограмме изображает сумму: AB, BA или OC?
2. Могут ли два ненулевых вектора дать нулевую сумму? Приведите конкретные координаты.
3. Если a = (2; 4), а b = (−2; 1), в какую полуплоскость от O направлена диагональ суммы: верхнюю или нижнюю? Обоснуйте.
4. Верно ли, что длина a + b всегда равна |a| + |b|? Приведите опровергающий пример с перпендикулярными единичными векторами.

Разбор типичных ошибок до сверки

Ошибка первая: соединяют концы A и B и считают AB суммой. Это разность b − a, а не диагональ из O. Ошибка вторая: складывают абсциссу одного вектора с ординатой другого — компоненты необходимо складывать по соответствующим осям. Ошибка третья: длину диагонали принимают за сумму длин двух сторон; треугольное неравенство показывает, что такое равенство не является общим.

Практический способ контроля: подставьте обе пары координат в формулу, проверьте знак x и знак y, после чего нарисуйте только направление полученной стрелки. Если результат (0; 5), она направлена строго вверх, а не вправо и вверх. Это быстро исправляет ошибки масштаба.

Ключ и пояснения к 24 заданиям

Ответы расположены после всех заданий. Если материал распечатывается ученикам, печатайте только страницы до этого раздела либо закройте ключ отдельным листом. Сверяйте не только конечное число, но и направление, знаки и смысл обозначений.

Проверка результата по правилу треугольника: перенесите b к концу a и соедините начальную точку a с конечной точкой перенесённого b. Вы получите ту же сумму. Так два разных построения взаимно контролируют друг друга.

Для учителя: балл за правильно найденную пару координат и дополнительный балл за интерпретацию направления. Задачи 7 и 19 полезны для обсуждения вырожденного случая и одинаковых направлений. Не снижайте оценку за отсутствие красивого чертежа, если координаты верны и смысл диагонали объяснён.

Мини-памятка перед новой попыткой: общее начало двух исходных стрелок; две параллельные стороны; диагональ из общего начала; сложение соответствующих координат; контроль направления. Эти пять действий выполняются в указанном порядке.