Сокращение алгебраической дроби с общим множителем — карточки по математике для 8 класса

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить числитель и знаменатель на один и тот же ненулевой множитель. Можно сокращать общие множители, но нельзя «зачёркивать» похожие слагаемые по разные стороны черты. Во всех заданиях обязательно запишите запрещённые значения из исходного знаменателя.

Короткое правило и два разобранных примера

Пример 1. 6x/(9x) = 2/3, если x ≠ 0. Мы разделили числитель и знаменатель на 3x. При x=0 исходная дробь не определена, даже если результат 2/3 выглядит постоянным.

Пример 2. 5a(a+2)/[15(a+2)] = a/3, если a ≠ −2. Общий множитель — 5(a+2). Сокращение неверно при a=−2, потому что знаменатель исходного выражения равен нулю.

Ученик: в каждой записи отделите общие множители, отметьте сокращаемый множитель, укажите ОДЗ. Не путайте множитель с отдельным слагаемым.

Для печати: сначала выполните задания, затем откройте или распечатайте отдельно раздел «Ответы и объяснения». Для построений используйте линейку и транспортир; все рисунки выполняются на листе.

Самостоятельный тренажёр — 14 вычислительных карточек

1. Сократите (8x)/(12x) и укажите ограничения.
2. Сократите (15a²)/(20a) и укажите ограничения.
3. Сократите 6mn/(9m) и укажите ограничения.
4. Сократите 14p²q/(21pq) и укажите ограничения.
5. Сократите 10x(x+3)/[15(x+3)] и укажите ограничения.
6. Сократите 4y(y−5)/[12(y−5)] и укажите ограничения.
7. Сократите 18ab/(24a²) и укажите ограничения.
8. Сократите −12x²/(18x) и укажите ограничения.
9. Сократите 7(t+1)/[21(t+1)] и укажите ограничения.
10. Сократите 25z(z−4)/[10z] и укажите ограничения.
11. Сократите 9u²v/[6uv²] и укажите ограничения.
12. Сократите 16(x−2)/[24(x−2)] и укажите ограничения.
13. Сократите 2k(k+5)/[6k(k+5)] и укажите ограничения.
14. Сократите −20a(a−1)/[8a] и укажите ограничения.

Разбор типичной ошибки

Попытка «сократить x» в дроби (x+3)/x, получив 3, неверна. В числителе x — слагаемое, а не множитель всего выражения. Проверка x=1 даёт исходное значение 4, а ошибочное значение 3. Аналогично нельзя сокращать двойку из 2x+3 и 2x. Если сократить нечего, дробь нужно оставить без изменений.

Ключ с ОДЗ

1. 2/3; допустимо при x ≠ 0. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.
2. 3a/4; допустимо при a ≠ 0. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.
3. 2n/3; допустимо при m ≠ 0. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.
4. 2p/3; допустимо при p ≠ 0, q ≠ 0. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.
5. 2x/3; допустимо при x ≠ −3. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.
6. y/3; допустимо при y ≠ 5. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.
7. 3b/(4a); допустимо при a ≠ 0. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.
8. −2x/3; допустимо при x ≠ 0. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.
9. 1/3; допустимо при t ≠ −1. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.
10. 5(z−4)/2; допустимо при z ≠ 0. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.
11. 3u/(2v); допустимо при u ≠ 0, v ≠ 0. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.
12. 2/3; допустимо при x ≠ 2. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.
13. 1/3; допустимо при k ≠ 0, k ≠ −5. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.
14. −5(a−1)/2; допустимо при a ≠ 0. Общие множители сокращены без изменения исходной ОДЗ.

Способ проверки: подставьте любое разрешённое числовое значение (например, 1 или 2, если оно не запрещено) и убедитесь, что значения исходной и сокращённой дробей совпадают. Затем возьмите каждое запрещённое значение и проверьте: исходный знаменатель обращается в ноль. Если ученик пропустил ОДЗ, ответ не считается полностью обоснованным.

Что делать, если дробь не сокращается

Школьник может автоматически зачеркнуть одинаковые буквы, не заметив знак сложения. Полезный контрпример: (x+2)/x при x=2 равно 2, а не 1. Если дробь представляет собой сумму в числителе, её можно сократить лишь тогда, когда всё выражение вынесено в произведение и у знаменателя найден такой же множитель. В этом материале почти все правильные сокращения показаны в виде готовых произведений; контрольный вопрос — «какая скобка или переменная целиком является множителем обеих частей?»

Обратите внимание на задания 4 и 11. Там в числителе и знаменателе одновременно несколько букв; запрет на нулевое значение любого сокращённого множителя сохраняется. В задании 13 запрещены сразу два значения k: 0 и −5. Хотя результат 1/3 не содержит переменной, подстановка запрещённых значений в первоначальную дробь нарушила бы правило деления на ноль.

Если ответ получается отрицательным, знак минус сохраняется перед всей дробью или перед числителем. Например, из −12x²/(18x) получается −2x/3, а не 2x/3. Для уверенной проверки выберите разрешённое значение переменной, вычислите исходную дробь и сравните с результатом сокращения. Числовая проверка не заменяет доказательство тождества, но быстро выявляет знак или потерянный множитель.