Сокращение рациональной дроби после группировки слагаемых: самостоятельная работа по математике, 8 класс

Диагностика, 8 класс. Задача — сократить рациональную дробь после группировки четырёх слагаемых в числителе. Отдельно покажите, какие значения запрещает первоначальный знаменатель: сокращённая запись не возвращает удалённые точки области определения.

Три вопроса перед решением

1. Как разбить числитель на две пары с общим двучленом?
2. Какой множитель встречается и в числителе, и в знаменателе?
3. При каких значениях первоначальный знаменатель обращается в ноль?

Образец: (x²+3x+2x+6)/((x+3)(x+7)). Числитель = x(x+3)+2(x+3)=(x+3)(x+2); результат = (x+2)/(x+7), но ОДЗ: x ≠ −3, x ≠ −7. На x = −3 сокращённая формула могла бы дать число, однако первоначальная дробь не определена.

Самостоятельная работа: 10 выражений

1. Сократите рациональную дробь (x² + 2x + 3x + 6) / ((x+2)(x+5)). Покажите группировку слагаемых числителя; запишите ОДЗ. _____
2. Сократите рациональную дробь (x² + 4x + 1x + 4) / ((x+4)(x+6)). Покажите группировку слагаемых числителя; запишите ОДЗ. _____
3. Сократите рациональную дробь (x² + 3x + 7x + 21) / ((x+3)(x+2)). Покажите группировку слагаемых числителя; запишите ОДЗ. _____
4. Сократите рациональную дробь (x² + 5x + 2x + 10) / ((x+5)(x+8)). Покажите группировку слагаемых числителя; запишите ОДЗ. _____
5. Сократите рациональную дробь (x² + 6x + 4x + 24) / ((x+6)(x+1)). Покажите группировку слагаемых числителя; запишите ОДЗ. _____
6. Сократите рациональную дробь (x² + 1x + 5x + 5) / ((x+1)(x+7)). Покажите группировку слагаемых числителя; запишите ОДЗ. _____
7. Сократите рациональную дробь (x² + 7x + 3x + 21) / ((x+7)(x+4)). Покажите группировку слагаемых числителя; запишите ОДЗ. _____
8. Сократите рациональную дробь (x² + 2x + 8x + 16) / ((x+2)(x+6)). Покажите группировку слагаемых числителя; запишите ОДЗ. _____
9. Сократите рациональную дробь (x² + 4x + 5x + 20) / ((x+4)(x+9)). Покажите группировку слагаемых числителя; запишите ОДЗ. _____
10. Сократите рациональную дробь (x² + 8x + 2x + 16) / ((x+8)(x+3)). Покажите группировку слагаемых числителя; запишите ОДЗ. _____

Таблица самопроверки

Полный ключ с объяснениями

1. Группировка: (x²+2x)+(3x+6)=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3). До сокращения запрещены x=−2 и x=−5. Результат (x+3)/(x+5) только при исходной ОДЗ. При x=−2 нельзя подставлять число даже если сокращённая дробь определена.
2. Группировка: (x²+4x)+(1x+4)=x(x+4)+1(x+4)=(x+4)(x+1). До сокращения запрещены x=−4 и x=−6. Результат (x+1)/(x+6) только при исходной ОДЗ. При x=−4 нельзя подставлять число даже если сокращённая дробь определена.
3. Группировка: (x²+3x)+(7x+21)=x(x+3)+7(x+3)=(x+3)(x+7). До сокращения запрещены x=−3 и x=−2. Результат (x+7)/(x+2) только при исходной ОДЗ. При x=−3 нельзя подставлять число даже если сокращённая дробь определена.
4. Группировка: (x²+5x)+(2x+10)=x(x+5)+2(x+5)=(x+5)(x+2). До сокращения запрещены x=−5 и x=−8. Результат (x+2)/(x+8) только при исходной ОДЗ. При x=−5 нельзя подставлять число даже если сокращённая дробь определена.
5. Группировка: (x²+6x)+(4x+24)=x(x+6)+4(x+6)=(x+6)(x+4). До сокращения запрещены x=−6 и x=−1. Результат (x+4)/(x+1) только при исходной ОДЗ. При x=−6 нельзя подставлять число даже если сокращённая дробь определена.
6. Группировка: (x²+1x)+(5x+5)=x(x+1)+5(x+1)=(x+1)(x+5). До сокращения запрещены x=−1 и x=−7. Результат (x+5)/(x+7) только при исходной ОДЗ. При x=−1 нельзя подставлять число даже если сокращённая дробь определена.
7. Группировка: (x²+7x)+(3x+21)=x(x+7)+3(x+7)=(x+7)(x+3). До сокращения запрещены x=−7 и x=−4. Результат (x+3)/(x+4) только при исходной ОДЗ. При x=−7 нельзя подставлять число даже если сокращённая дробь определена.
8. Группировка: (x²+2x)+(8x+16)=x(x+2)+8(x+2)=(x+2)(x+8). До сокращения запрещены x=−2 и x=−6. Результат (x+8)/(x+6) только при исходной ОДЗ. При x=−2 нельзя подставлять число даже если сокращённая дробь определена.
9. Группировка: (x²+4x)+(5x+20)=x(x+4)+5(x+4)=(x+4)(x+5). До сокращения запрещены x=−4 и x=−9. Результат (x+5)/(x+9) только при исходной ОДЗ. При x=−4 нельзя подставлять число даже если сокращённая дробь определена.
10. Группировка: (x²+8x)+(2x+16)=x(x+8)+2(x+8)=(x+8)(x+2). До сокращения запрещены x=−8 и x=−3. Результат (x+2)/(x+3) только при исходной ОДЗ. При x=−8 нельзя подставлять число даже если сокращённая дробь определена.

Три частые ошибки и исправление

Ошибка 1. Сократить x в сумме x²+3x+2x+6. Сокращать можно только множители произведения. Сначала необходимо получить форму (x+3)(x+2), затем искать общий множитель всего числителя и всего знаменателя.

Ошибка 2. Записать ОДЗ только по окончательной дроби. Если первоначально знаменатель (x+3)(x+7), оба числа −3 и −7 запрещены даже после сокращения (x+3).

Ошибка 3. Уничтожить одинаковые слагаемые в числителе и знаменателе, не выделяя множителей. Это меняет значения дроби. Проверка простым допустимым x (например, x=1) помогает выявить такую ошибку.

Оценка: 10 заданий по 3 балла. Если ответ совпал, но ОДЗ записана неверно, итог неполный: у двух внешне одинаковых дробей могут быть разные области определения.