Сопоставление абсолютной и относительной частоты для таблицы с неполным итогом: задания с разбором, 7 класс

Маршрут: от неполного итога к точной доле

В школьном опросе записали 50 ответов. Каждый ответ относится ровно к одной из четырёх групп. Ученику выдали таблицу с одним незаполненным полем. Цель — восстановить пропуск, перевести абсолютные частоты в относительные и проверить отчёт на противоречия. Здесь нельзя заменять количество наблюдений процентом: число «15» не означает «15%».

Старт: восстановление пропуска

Абсолютная частота — количество наблюдений в группе; относительная — это отношение частоты группы ко всему числу наблюдений. Если данных 50 и группа встретилась 12 раз, доля равна 12/50=24%. Деление на 35, то есть только на сумму заполненных строк, было бы ошибкой: для каждой группы знаменатель должен быть один и тот же полный итог.

Переход между этапами: сначала восстанавливаем единственный неизвестный показатель; затем сравниваем доли. В третьем этапе проверяем черновые проценты. И наконец смотрим, что произойдёт с долями после добавления новых наблюдений: абсолютная частота может остаться прежней, хотя относительная изменится.

Этап I. Лёгкий старт

1. Сложите три известные абсолютные частоты: 12, 8 и 15. Что пока известно об общем количестве?
2. Всего наблюдений 50. Восстановите абсолютную частоту группы В.
3. Докажите, что пропуск не может быть равен 14, если суммарное число 50.
4. Запишите относительную частоту группы А дробью со знаменателем 50 и в процентах.
5. Найдите относительную частоту группы Б.

Этап II. Ошибка или верно?

1. Найдите относительную частоту восстановленной группы В.
2. Найдите относительную частоту группы Г и проверьте сумму четырёх процентов.
3. Назовите все группы с наибольшей абсолютной частотой. Можно ли выбрать только одну?
4. Какая группа имеет наименьшую относительную частоту? Сравните её с группой А.
5. На сколько наблюдений группа В больше группы Б?
6. На сколько процентных пунктов группа В больше группы Б?
7. Верно ли, что группы А и В вместе составляют 54% выборки? Проверьте двумя способами.
8. Ученик записал для группы Г 25%. Найдите ошибку и исправьте его вычисление.

Этап III. Пересчёт и самостоятельная проверка

1. В черновике указан итог 49, хотя известны частоты 12, 8, 15 и 15. Совместимы ли данные?
2. Вновь обнаружены 10 наблюдений группы Б. Сколько всего наблюдений и какова новая доля Б?
3. Как изменилась относительная частота группы В после добавления 10 наблюдений Б?
4. Почему после добавления наблюдений нельзя оставлять в столбце процентов все прежние значения?
5. В другой таблице частоты групп Д=14, Е=22, Ж=?; итог 60. Восстановите Ж и её относительную частоту.
6. В той же второй таблице группа Е ошибочно помечена как 22%. Укажите правильный процент и объясните, почему численное совпадение 22 и 22% ложно.
7. Проверьте, может ли сумма относительных частот в корректной полной таблице составить 95% при точных значениях без округления.

Ключ ко всем этапам

1. 12+8+15 = 35 наблюдений; неизвестно ещё одно слагаемое общего итога.
2. 50−35 = 15; именно 15 записываем для В.
3. 12+8+14+15=49, а не 50; пропуск 14 противоречит условию.
4. 12/50 = 0,24 = 24%.
5. 8/50 = 0,16 = 16%.
6. 15/50 = 0,3 = 30%.
7. 15/50 = 30%; контроль: 24+16+30+30 = 100%.
8. В и Г: у обеих по 15 наблюдений, поэтому лидеров два.
9. Б, 16%; А имеет 24%, то есть доля А выше на 8 процентных пунктов.
10. 15−8 = 7 наблюдений.
11. 30%−16% = 14 процентных пунктов, а не 14%.
12. (12+15)/50=27/50=0,54; отдельно 24%+30%=54%. Верно.
13. 15/50=0,30=30%; 25% соответствовали бы 12,5 наблюдения, чего в этой таблице нет.
14. Нет. Сумма указанных целых частот равна 50, поэтому итог 49 неверен.
15. Всего 50+10=60, Б имеет 8+10=18; доля 18/60=30%.
16. Стало 15/60=25% вместо 30%, уменьшение на 5 процентных пунктов при неизменной частоте В.
17. Изменился знаменатель: теперь делить нужно на 60, а не на 50. Нельзя переносить старые проценты в новую выборку.
18. 60−14−22=24 наблюдения; 24/60=40%.
19. 22/60 = 11/30 = 36⅔% (около 36,7%). 22 здесь абсолютная частота, а не число процентов.
20. Нет. Если таблица исчерпывающая и значения точные, сумма всех частот равна N, поэтому сумма долей N/N=100%. Отклонения возможны только из-за округления или неполноты таблицы.

Проверка и исправление

После добавления десяти наблюдений группы Б новый итог равен 60. Тогда доли становятся: А — 12/60=20%, Б — 18/60=30%, В — 15/60=25%, Г — 15/60=25%. Их сумма снова 100%. Такое преобразование особенно удобно для самопроверки: любое число процентов в заполненном столбце должно иметь объяснимый числитель и общий знаменатель.

Для расчёта доли по записи «число наблюдений / полный итог» используйте все группы. Если какой-либо итог скрыт, сначала найдите его по известной доле или восстановите по сумме частот. Округление до десятых может дать суммарно 99,9% либо 100,1% — это не значит, что таблица неверная; сравнивать надо исходные точные дроби.

Неявный итог: как восстановить его по проценту

В некоторых таблицах неизвестно не число наблюдений группы, а сам общий итог. Например, если 18 учеников составляют 30% участников, то общее количество участников находится обратным действием: 18 : 0,30 = 60. После этого можно восстановить остальные доли. Проверка обязательна: 30% от 60 действительно равно 18. Не стоит делить 18 на число 30, не переведя проценты в десятичную дробь: это привело бы к ответу 0,6, который не может быть общим числом учеников.

Если известна только относительная частота 30% и не известна ни одна абсолютная частота, то восстановить точный объём выборки невозможно. Тридцать процентов могут означать 3 из 10, 15 из 50 или 30 из 100. Именно поэтому в нашем практикуме значение 50 принципиально: оно делает восстановление частоты группы В однозначным. Скрытая клетка таблицы сама по себе не всегда определяет единственное решение — необходимо достаточно исходных сведений.

Сравнение долей и изменение общей базы

Абсолютное превосходство на 7 наблюдений не означает превосходства на 7%. Для групп Б и В разность частот равна 15−8=7, но разность их долей равна 30%−16%=14 процентных пунктов. Если теперь добавить двадцать наблюдений другой группы, числовая разность 7 останется прежней, тогда как относительное расхождение станет 7/70=10 процентных пунктов. Это полезный способ объяснить, почему процент зависит не только от количества в группе, но и от всей базы сравнения.

Проверяющий может быстро найти опечатку в заполненном отчёте двумя способами. Первый — складывать абсолютные частоты и сравнивать с итогом. Второй — складывать точные относительные частоты. У исчерпывающего набора взаимоисключающих исходов оба контроля должны быть выполнены. Если один не сходится, сначала проверьте пропущенную группу, затем знаменатель и только потом округление. Если доли округлены до целых процентов, арифметическая сумма иногда отличается от 100%, и эту погрешность нельзя автоматически считать ошибкой подсчёта наблюдений.