Составление пропорции по условию при увеличении только одной величины: тематические карточки для 6 класса

6 класс. Практическая цель: самостоятельно составлять пропорцию после изменения одной величины и отличать восстановление отношения от утверждения, будто оно сохранилось само. Все величины в условиях учебные; задания подходят для распечатки, а ответы расположены после упражнений.

Что объединяет оба варианта

Если даны отношения a:b и c:d, равенство a/b = c/d называется пропорцией при b ≠ 0 и d ≠ 0. Когда увеличили только одну положительную величину, прежнее числовое отношение, как правило, нарушается. Чтобы его восстановить, нужно подобрать вторую величину и составить пропорцию с неизвестным x. Не путайте вопрос «сохранилось ли?» с вопросом «какое x сделает отношения равными?».

Вариант А — первая величина увеличена, найдите вторую

Во всех задачах варианта А сначала проверьте, сохранилось ли отношение, если вторую величину не менять, и лишь затем найдите, чему она должна равняться для восстановления пропорции. Запишите уравнение с x.

1. Материал А: на 4 детали требуется 6 винтов. Число деталей увеличили до 10; сколько винтов нужно при прежней норме?
2. На 8 м ткани приходится 12 м подкладки. Ткань увеличили до 14 м. Запишите пропорцию для нужной подкладки.
3. На 3 полки приходится 9 одинаковых кронштейнов. Полок стало 5, а кронштейнов пока 9. Найдите норму и исправьте.
4. Для 7 л краски берут 14 л основы. Основную краску увеличили до 9 л. Сколько основы потребуется?
5. Из 10 см проволоки и 25 см ленты собирают поделку. Проволоку увеличили на 6 см, лента не изменилась. Какая пропорция восстановит исходное соотношение?
6. В рецепте 2 порции крупы соответствуют 5 порциям воды. Крупы стало 6 порций. Найдите x и проверьте.
7. Школьный макет: 9 см соответствует 36 см. Изображение увеличили до 12 см, предмет пока оставили 36 см. Что требуется для старого масштаба?
8. В таблице было 5:8. Первый член увеличили на 20%. Чему должен равняться второй при сохранении отношения?

Вариант Б — изменилась вторая величина, найдите исправление

Здесь часто задана неверная пропорция с неизменным первым членом. Нужно обосновать, почему равенство ложно, и составить правильное уравнение для недостающей величины.

1. Числа 6 и 10. Второе увеличили до 15, первое оставили 6. Верна ли запись 6/10 = 6/15?
2. За 4 часа мастер делает 20 деталей. Время увеличили до 6 часов, число деталей оставили 20. Сохранилась ли скорость?
3. На 12 учеников приходится 3 набора карточек. Наборов стало 5, а учеников — 12. Постройте корректную пропорцию для x учеников.
4. Две длины относятся как 15:25. Вторую увеличили на 5. Можно ли записать 15/25 = 15/30?
5. На 18 стульев приходится 6 столов. Столов стало 8. Укажите уравнение на число стульев x.
6. Пара A:B = 2:7. Только B увеличили на 7. Восстановите A и запишите пропорцию.
7. Раньше 14 км пути занимали 2 ч. Время увеличили до 3,5 ч, но расстояние оставили 14 км. Сохранилась ли скорость? Найдите нужное расстояние.
8. Отношение 0:5. Увеличили только второй член до 10. Действительно ли старое числовое отношение сохранилось?

Ответы: вариант А

1. 4/6 = 10/x, 4x = 60, x = 15 винтов. Если винтов остаётся 6, норму 4:6 сохранить нельзя.
2. 8/12 = 14/x ⇒ x = 12·14/8 = 21 м. Увеличить одну ткань без подкладки — изменить отношение.
3. Было 3:9 = 1:3, стало 5:9. Нужно 3/9 = 5/x, откуда x = 15 кронштейнов.
4. 7/14 = 9/x, x = 14·9/7 = 18 л. Новая пара 9:18 = 1:2.
5. Новая проволока 16 см. 10/25 = 16/x, x = 25·16/10 = 40 см ленты. Пара 16:25 старому отношению не равна.
6. 2/5 = 6/x ⇒ x = 15 порций воды. Проверка 6:15 = 2:5.
7. 9/36 = 12/x ⇒ x = 36·12/9 = 48 см. Если реальная длина 36 см, масштаб изменится с 1:4 на 1:3.
8. Новый первый член 5·1,2 = 6. Пропорция 5/8 = 6/x ⇒ x = 9,6. Оставить второй член 8 нельзя.

Ответы: вариант Б

1. Неверна: 0,6 ≠ 0,4. Для сохранения 6/10 = x/15 нужно x = 9.
2. Скорость была 20/4 = 5 деталей/ч, стала 20/6 = 10/3 детали/ч. Нет. Для прежней скорости нужно 20/4 = x/6, x = 30 деталей.
3. 12/3 = x/5 ⇒ x = 20 учеников. Если оставить 12, отношение учеников к наборам уменьшится с 4 до 2,4.
4. Нет: 15/25 = 3/5, 15/30 = 1/2. Для сохранения 15/25 = x/30 требуется x = 18.
5. 18/6 = x/8 ⇒ x = 24 стула. Сохранить 18 стульев при 8 столах — изменить норму.
6. Второй член B = 14, поэтому 2/7 = x/14 ⇒ x = 4. Если A остаётся 2, значение отношения падает вдвое.
7. Была скорость 14/2 = 7 км/ч, стала 14/3,5 = 4 км/ч. Нет. 14/2 = x/3,5 ⇒ x = 24,5 км для старой скорости.
8. Да, исключительный случай: 0/5 = 0/10 = 0. Для положительного первого члена увеличение второго обычно меняет отношение; при нуле в числителе оба частных равны нулю. Делить на ноль по-прежнему нельзя.

Взаимная проверка двух решений

Меняясь карточками, один ученик проверяет численные значения отношений, другой — перекрёстные произведения. Например, 4/6 = 10/15 подтверждается равенством 4·15 = 6·10 = 60. Ошибочная запись 4/6 = 10/6 сразу нарушает проверку: 4·6 ≠ 6·10.

После нахождения x не забудьте вернуть единицы: метры, литры, штуки или часы. В задачах на скорость используются связанные величины, поэтому проверка разумности особенно важна: при неизменной скорости большее время означает большее расстояние, а не наоборот.

Нетривиальный случай: нулевой числитель при ненулевом знаменателе даёт нулевое отношение, которое может не измениться даже при увеличении второго члена. Однако запись a:0 не имеет числового значения, и уравнение с нулём в знаменателе нельзя использовать. Это причина проверять допустимые значения до перекрёстного умножения.