Составление цепочки равных углов при дополнительном угле — упражнения разной сложности, 7 класс

Цель: строить обоснованную цепочку равных углов от одного смежного угла, вычислять дополнительные углы без лишнего чертежа.

Пусть прямые k ∥ m пересечены одной секущей в точках U и V. Углы αU и αV соответственные, γU и γV вертикальны соответствующим α. Углы βU и βV смежные соответствующим α; δU и δV вертикальны соответствующим β.

Памятка для печати

Если известен ∠βU = b°, сначала находим ∠αU = 180° − b°. Затем строим цепочку равенств: ∠αU = ∠γU = ∠αV = ∠γV. Вторую цепочку образуют βU = δU = βV = δV. Не надо без доказательства приписывать одну меру двум смежным углам.

Запись «дополнительный угол» здесь означает угол, который вместе с данным составляет 180°, а не произвольный новый угол на рисунке.

Два способа проверки дополняют друг друга. Числовая проверка удостоверяет, что вычисленные соседние углы действительно составляют развёрнутый угол, то есть 180°. Геометрическая проверка удостоверяет, что угол был перенесён из U в V только как соответственный, а не потому, что на рисунке похожая наклонная линия. Для полного ответа нужны оба шага.

Ученик может начать цепочку с γV и двигаться к αU или в обратном направлении: равенство симметрично. Но нельзя добавить в эту цепочку βV без объяснения, ведь он смежен γV. На контрольной работе за такие неверные переходы снимается балл даже при правильном числовом ответе.

Вариант А. Начни со смежного угла

1. ∠βU = 138°. Найди ∠γV и ∠δV, составь полную цепочку из четырёх углов, равных ∠γV, и объясни переход от U к V.
2. ∠βU = 124°. Найди ∠γV и ∠δV, составь полную цепочку из четырёх углов, равных ∠γV, и объясни переход от U к V.
3. ∠βU = 107°. Найди ∠γV и ∠δV, составь полную цепочку из четырёх углов, равных ∠γV, и объясни переход от U к V.
4. ∠βU = 99°. Найди ∠γV и ∠δV, составь полную цепочку из четырёх углов, равных ∠γV, и объясни переход от U к V.
5. ∠βU = 84°. Найди ∠γV и ∠δV, составь полную цепочку из четырёх углов, равных ∠γV, и объясни переход от U к V.
6. ∠βU = 71°. Найди ∠γV и ∠δV, составь полную цепочку из четырёх углов, равных ∠γV, и объясни переход от U к V.
7. ∠βU = 58°. Найди ∠γV и ∠δV, составь полную цепочку из четырёх углов, равных ∠γV, и объясни переход от U к V.
8. ∠βU = 43°. Найди ∠γV и ∠δV, составь полную цепочку из четырёх углов, равных ∠γV, и объясни переход от U к V.
9. ∠βU = 113°. Найди ∠γV и ∠δV, составь полную цепочку из четырёх углов, равных ∠γV, и объясни переход от U к V.

Вариант Б. Соедини вычисление и обоснование

1. ∠αU = (2x + 43)°, а ∠βV = 131°. Найди x, построй цепочку равных углов и вычисли ∠δU.
2. ∠γU = 62°. Достаточно ли этого, чтобы найти ∠βV? Вычисли угол, запиши обе цепочки и проверь сумму соседних величин.
3. ∠γU = 78°. Достаточно ли этого, чтобы найти ∠βV? Вычисли угол, запиши обе цепочки и проверь сумму соседних величин.
4. ∠αU = (2x + 77)°, а ∠βV = 91°. Найди x, построй цепочку равных углов и вычисли ∠δU.
5. ∠γU = 101°. Достаточно ли этого, чтобы найти ∠βV? Вычисли угол, запиши обе цепочки и проверь сумму соседних величин.
6. ∠γU = 114°. Достаточно ли этого, чтобы найти ∠βV? Вычисли угол, запиши обе цепочки и проверь сумму соседних величин.
7. ∠αU = (2x + 110)°, а ∠βV = 52°. Найди x, построй цепочку равных углов и вычисли ∠δU.
8. ∠γU = 143°. Достаточно ли этого, чтобы найти ∠βV? Вычисли угол, запиши обе цепочки и проверь сумму соседних величин.
9. ∠γU = 156°. Достаточно ли этого, чтобы найти ∠βV? Вычисли угол, запиши обе цепочки и проверь сумму соседних величин.

Ключ учителя: вариант А

1. αU = 180° − 138° = 42°. Поэтому αU = γU = αV = γV = 42°. При этом βU = δU = βV = δV = 138°. Перенос U → V оправдан соответствием.
2. αU = 180° − 124° = 56°. Поэтому αU = γU = αV = γV = 56°. При этом βU = δU = βV = δV = 124°. Перенос U → V оправдан соответствием.
3. αU = 180° − 107° = 73°. Поэтому αU = γU = αV = γV = 73°. При этом βU = δU = βV = δV = 107°. Перенос U → V оправдан соответствием.
4. αU = 180° − 99° = 81°. Поэтому αU = γU = αV = γV = 81°. При этом βU = δU = βV = δV = 99°. Перенос U → V оправдан соответствием.
5. αU = 180° − 84° = 96°. Поэтому αU = γU = αV = γV = 96°. При этом βU = δU = βV = δV = 84°. Перенос U → V оправдан соответствием.
6. αU = 180° − 71° = 109°. Поэтому αU = γU = αV = γV = 109°. При этом βU = δU = βV = δV = 71°. Перенос U → V оправдан соответствием.
7. αU = 180° − 58° = 122°. Поэтому αU = γU = αV = γV = 122°. При этом βU = δU = βV = δV = 58°. Перенос U → V оправдан соответствием.
8. αU = 180° − 43° = 137°. Поэтому αU = γU = αV = γV = 137°. При этом βU = δU = βV = δV = 43°. Перенос U → V оправдан соответствием.
9. αU = 180° − 113° = 67°. Поэтому αU = γU = αV = γV = 67°. При этом βU = δU = βV = δV = 113°. Перенос U → V оправдан соответствием.

Ключ учителя: вариант Б

1. 2x + 43 + 131 = 180 ⇒ x = 3. αU = γU = αV = γV = 49°, βU = δU = βV = δV = 131°. ∠δU = 131°.
2. Да. αU = γU = αV = γV = 62°. Смежные им βV = βU = δU = δV = 118°. Проверка: 62 + 118 = 180.
3. Да. αU = γU = αV = γV = 78°. Смежные им βV = βU = δU = δV = 102°. Проверка: 78 + 102 = 180.
4. 2x + 77 + 91 = 180 ⇒ x = 6. αU = γU = αV = γV = 89°, βU = δU = βV = δV = 91°. ∠δU = 91°.
5. Да. αU = γU = αV = γV = 101°. Смежные им βV = βU = δU = δV = 79°. Проверка: 101 + 79 = 180.
6. Да. αU = γU = αV = γV = 114°. Смежные им βV = βU = δU = δV = 66°. Проверка: 114 + 66 = 180.
7. 2x + 110 + 52 = 180 ⇒ x = 9. αU = γU = αV = γV = 128°, βU = δU = βV = δV = 52°. ∠δU = 52°.
8. Да. αU = γU = αV = γV = 143°. Смежные им βV = βU = δU = δV = 37°. Проверка: 143 + 37 = 180.
9. Да. αU = γU = αV = γV = 156°. Смежные им βV = βU = δU = δV = 24°. Проверка: 156 + 24 = 180.

Для взаимной проверки учащиеся могут менять только числовые данные, сохраняя направление цепочки. Если перепутаны соответствующие и односторонние внутренние углы, ошибка обнаруживается при сложении: смежные должны давать 180°, а не равенство при произвольном значении.

Проверка: В задании с неизвестной x подстановка возвращает исходное значение угла. В остальных случаях две полученные величины строго дополнительны.