Составление цепочки равных углов при неизвестном значении переменной: мини-практикум с ответами, 7 класс

Цель: исправлять неверные цепочки равных углов, составлять уравнения для соответственных, вертикальных и смежных углов и проверять найденное значение x.

Исходная конфигурация: a ∥ b, одна секущая t пересекает их в точках P и Q. В каждом перекрестии α и γ вертикальные, β и δ — другая вертикальная пара; α с β смежные. Для данной секущей αP = γP = αQ = γQ, а βP = δP = βQ = δQ. Между этими цепочками обычно сумма 180°.

Первым делом — найди неверный переход

Ошибочная запись: «αP = βQ, потому что они при параллельных». На самом деле αP + βQ = 180°. Равенство возможно в частном случае прямого угла, но это не общее свойство. При поиске x сначала решай уравнение, затем отдельно проверяй цепочку.

Шестнадцать диагностических заданий

1. Дано αP = (2x + 53)°, αQ = (3x + 48)°. Ученик написал αP + αQ = 180°. Найди x, объясни ошибку и продолжи верную цепочку до γQ.
2. Дано αP = (3x + 56)°, βQ = (3x + 88)°. Записана неверная цепочка αP = βQ = δP. Вычисли x и восстанови обе правильные цепочки.
3. При пересечении P углы αP = (2x + 67)°, γP = (3x + 60)°. Ученик получил x = 8 и заявил, что соседний βQ равен αP. Укажи две ошибки и выведи правильные величины.
4. Дано αP = (3x + 82)°, αQ = (4x + 74)°. Ученик написал αP + αQ = 180°. Найди x, объясни ошибку и продолжи верную цепочку до γQ.
5. Дано αP = (2x + 99)°, βQ = (2x + 45)°. Записана неверная цепочка αP = βQ = δP. Вычисли x и восстанови обе правильные цепочки.
6. При пересечении P углы αP = (3x + 26)°, γP = (4x + 16)°. Ученик получил x = 11 и заявил, что соседний βQ равен αP. Укажи две ошибки и выведи правильные величины.
7. Дано αP = (2x + 66)°, αQ = (3x + 55)°. Ученик написал αP + αQ = 180°. Найди x, объясни ошибку и продолжи верную цепочку до γQ.
8. Дано αP = (3x + 61)°, βQ = (3x + 47)°. Записана неверная цепочка αP = βQ = δP. Вычисли x и восстанови обе правильные цепочки.
9. При пересечении P углы αP = (2x + 99)°, γP = (3x + 94)°. Ученик получил x = 6 и заявил, что соседний βQ равен αP. Укажи две ошибки и выведи правильные величины.
10. Дано αP = (3x + 54)°, αQ = (4x + 48)°. Ученик написал αP + αQ = 180°. Найди x, объясни ошибку и продолжи верную цепочку до γQ.
11. Дано αP = (2x + 70)°, βQ = (2x + 82)°. Записана неверная цепочка αP = βQ = δP. Вычисли x и восстанови обе правильные цепочки.
12. При пересечении P углы αP = (3x + 98)°, γP = (4x + 90)°. Ученик получил x = 9 и заявил, что соседний βQ равен αP. Укажи две ошибки и выведи правильные величины.
13. Дано αP = (2x + 51)°, αQ = (3x + 42)°. Ученик написал αP + αQ = 180°. Найди x, объясни ошибку и продолжи верную цепочку до γQ.
14. Дано αP = (3x + 74)°, βQ = (3x + 46)°. Записана неверная цепочка αP = βQ = δP. Вычисли x и восстанови обе правильные цепочки.
15. При пересечении P углы αP = (2x + 56)°, γP = (3x + 45)°. Ученик получил x = 12 и заявил, что соседний βQ равен αP. Укажи две ошибки и выведи правильные величины.
16. Дано αP = (3x + 77)°, αQ = (4x + 65)°. Ученик написал αP + αQ = 180°. Найди x, объясни ошибку и продолжи верную цепочку до γQ.

Ключ с короткими объяснениями

1. αP = αQ ⇒ 2x+53 = 3x+48, x = 5; обе величины по 63°. Верная цепочка αP = γP = αQ = γQ = 63°. Сумма двух α равна 126°, не 180°.
2. Поскольку αP + βQ = 180°, (3+3)x + 144 = 180 ⇒ x = 6. Первая цепочка αP = γP = αQ = γQ = 74°; вторая βP = δP = βQ = δQ = 106°. Равенство этих цепочек ошибочно.
3. Вертикальные αP и γP равны: 2x+67 = 3x+60 ⇒ x = 7, а не 8. αP = γP = αQ = γQ = 81°. Смежный βQ = 99°, он не равен αP.
4. αP = αQ ⇒ 3x+82 = 4x+74, x = 8; обе величины по 106°. Верная цепочка αP = γP = αQ = γQ = 106°. Сумма двух α равна 212°, не 180°.
5. Поскольку αP + βQ = 180°, (2+2)x + 144 = 180 ⇒ x = 9. Первая цепочка αP = γP = αQ = γQ = 117°; вторая βP = δP = βQ = δQ = 63°. Равенство этих цепочек ошибочно.
6. Вертикальные αP и γP равны: 3x+26 = 4x+16 ⇒ x = 10, а не 11. αP = γP = αQ = γQ = 56°. Смежный βQ = 124°, он не равен αP.
7. αP = αQ ⇒ 2x+66 = 3x+55, x = 11; обе величины по 88°. Верная цепочка αP = γP = αQ = γQ = 88°. Сумма двух α равна 176°, не 180°.
8. Поскольку αP + βQ = 180°, (3+3)x + 108 = 180 ⇒ x = 12. Первая цепочка αP = γP = αQ = γQ = 97°; вторая βP = δP = βQ = δQ = 83°. Равенство этих цепочек ошибочно.
9. Вертикальные αP и γP равны: 2x+99 = 3x+94 ⇒ x = 5, а не 6. αP = γP = αQ = γQ = 109°. Смежный βQ = 71°, он не равен αP.
10. αP = αQ ⇒ 3x+54 = 4x+48, x = 6; обе величины по 72°. Верная цепочка αP = γP = αQ = γQ = 72°. Сумма двух α равна 144°, не 180°.
11. Поскольку αP + βQ = 180°, (2+2)x + 152 = 180 ⇒ x = 7. Первая цепочка αP = γP = αQ = γQ = 84°; вторая βP = δP = βQ = δQ = 96°. Равенство этих цепочек ошибочно.
12. Вертикальные αP и γP равны: 3x+98 = 4x+90 ⇒ x = 8, а не 9. αP = γP = αQ = γQ = 122°. Смежный βQ = 58°, он не равен αP.
13. αP = αQ ⇒ 2x+51 = 3x+42, x = 9; обе величины по 69°. Верная цепочка αP = γP = αQ = γQ = 69°. Сумма двух α равна 138°, не 180°.
14. Поскольку αP + βQ = 180°, (3+3)x + 120 = 180 ⇒ x = 10. Первая цепочка αP = γP = αQ = γQ = 104°; вторая βP = δP = βQ = δQ = 76°. Равенство этих цепочек ошибочно.
15. Вертикальные αP и γP равны: 2x+56 = 3x+45 ⇒ x = 11, а не 12. αP = γP = αQ = γQ = 78°. Смежный βQ = 102°, он не равен αP.
16. αP = αQ ⇒ 3x+77 = 4x+65, x = 12; обе величины по 113°. Верная цепочка αP = γP = αQ = γQ = 113°. Сумма двух α равна 226°, не 180°.

Что следует повторить при ошибке

Если ученик сложил два соответственных угла вместо их приравнивания, пусть отметит одинаковые положения углов у пересечений. Если он приравнял смежные углы, пусть сначала вычислит их сумму. Если числовое x угадано правильно, но цепочка неверна, задание нельзя считать полностью решённым: объяснение — существенная часть геометрического ответа.

Проверка: Каждый x — целое положительное число; все полученные углы строго между 0° и 180°. Все уравнения проверены прямой подстановкой.