Составление уравнения по схеме по тексту о разности возрастов — рабочий лист для 6 класса

Рабочий лист для 6 класса. В задачах о разности возрастов важно сначала выбрать неизвестную величину и нарисовать схему. Удобнее назвать x возрастом младшего сейчас: возраст старшего тогда x + d, где d — постоянная разность. Сумма возрастов со временем меняется, а разность — нет.

Учебная цель: читать линейную схему, переводить возрастные отношения в уравнение, решать его и подтверждать результат подстановкой. Все возраста даны в полных годах; если действие происходит несколько лет назад, проверьте, что оба человека уже родились. Записывайте ответ словами, а не только числом x.

Как прочитать схему возрастов

Здесь один прямоугольник длины x обозначает возраст младшего, второй такой же прямоугольник вместе с добавкой d — возраст старшего. Из равенства x + (x + d) = S получается 2x + d = S, поэтому x = (S − d)/2. Не перепутайте: из суммы нужно вычесть разницу, а не прибавить её.

Проверка примером. Разность возрастов 6 лет, сумма 34 года. Схема [x] и [x + 6], значит 2x + 6 = 34, 2x = 28, x = 14. Старшему 20. Проверка: 14 + 20 = 34, 20 − 14 = 6. Сколько бы ни прошло лет, разность останется 6.

Уровень I. Постройте схему для сегодняшнего дня (№ 1–8)

В каждом пункте дано, сколько лет вместе двум родственникам и на сколько один старше другого. Пусть x — возраст младшего. Для каждого номера нарисуйте два отрезка, составьте уравнение, решите его и запишите оба возраста.

1. № 1. Сёстрам вместе 23 лет; старший на 5 лет старше. Составьте уравнение по схеме и найдите оба возраста.
2. № 2. Братьям вместе 28 лет; старший на 4 лет старше. Составьте уравнение по схеме и найдите оба возраста.
3. № 3. Двоюродным братьям вместе 39 лет; старший на 9 лет старше. Составьте уравнение по схеме и найдите оба возраста.
4. № 4. Двум подругам вместе 41 лет; старший на 7 лет старше. Составьте уравнение по схеме и найдите оба возраста.
5. № 5. Двум соседям вместе 37 лет; старший на 11 лет старше. Составьте уравнение по схеме и найдите оба возраста.
6. № 6. Двум ученикам вместе 47 лет; старший на 5 лет старше. Составьте уравнение по схеме и найдите оба возраста.
7. № 7. Двум родственникам вместе 44 лет; старший на 12 лет старше. Составьте уравнение по схеме и найдите оба возраста.
8. № 8. Двум друзьям вместе 56 лет; старший на 8 лет старше. Составьте уравнение по схеме и найдите оба возраста.

Уровень II. Сумма возрастов в другом году (№ 9–16)

Теперь сумма относится не к сегодняшнему дню. Если событие происходит через t лет, в обоих прямоугольниках надо прибавить t; если t лет назад — отнять t. Схема остаётся симметричной. Не изменяйте разность d: оба человека стареют на одно и то же количество лет.

1. № 9. Через 4 года сумма возрастов двух людей 37 лет. Разность возрастов сейчас 7 лет. Найдите их возраст сегодня и запишите уравнение для суммы в названный момент.
2. № 10. 3 лет назад сумма возрастов двух людей 32 лет. Разность возрастов сейчас 6 лет. Найдите их возраст сегодня и запишите уравнение для суммы в названный момент.
3. № 11. Через 5 лет сумма возрастов двух людей 46 лет. Разность возрастов сейчас 8 лет. Найдите их возраст сегодня и запишите уравнение для суммы в названный момент.
4. № 12. 4 лет назад сумма возрастов двух людей 42 лет. Разность возрастов сейчас 10 лет. Найдите их возраст сегодня и запишите уравнение для суммы в названный момент.
5. № 13. Через 2 года сумма возрастов двух людей 46 лет. Разность возрастов сейчас 6 лет. Найдите их возраст сегодня и запишите уравнение для суммы в названный момент.
6. № 14. 5 лет назад сумма возрастов двух людей 49 лет. Разность возрастов сейчас 9 лет. Найдите их возраст сегодня и запишите уравнение для суммы в названный момент.
7. № 15. Через 7 лет сумма возрастов двух людей 45 лет. Разность возрастов сейчас 5 лет. Найдите их возраст сегодня и запишите уравнение для суммы в названный момент.
8. № 16. 6 лет назад сумма возрастов двух людей 44 лет. Разность возрастов сейчас 12 лет. Найдите их возраст сегодня и запишите уравнение для суммы в названный момент.

Уровень III. Во сколько раз старше? (№ 17–24)

В этих задачах разность известна сегодня, но сравнение «в несколько раз» относится к определённому году. Это не означает, что сегодня возраст старшего в столько же раз больше. Для уравнения используйте схему старший = младший + d и подставьте возраст каждого именно в год сравнения.

1. № 17. Разность возрастов 24 лет. Через 2 года старший будет в 3 раза старше младшего (сравнение возрастов в тот момент). Сколько им сейчас? Сначала запишите схему, потом равенство.
2. № 18. Разность возрастов 14 лет. Через 1 год старший будет в 2 раза старше младшего (сравнение возрастов в тот момент). Сколько им сейчас? Сначала запишите схему, потом равенство.
3. № 19. Разность возрастов 14 лет. 2 лет назад старший был в 2 раза старше младшего (сравнение возрастов в тот момент). Сколько им сейчас? Сначала запишите схему, потом равенство.
4. № 20. Разность возрастов 30 лет. Через 3 года старший будет в 3 раза старше младшего (сравнение возрастов в тот момент). Сколько им сейчас? Сначала запишите схему, потом равенство.
5. № 21. Разность возрастов 15 лет. 4 лет назад старший был в 2 раза старше младшего (сравнение возрастов в тот момент). Сколько им сейчас? Сначала запишите схему, потом равенство.
6. № 22. Разность возрастов 39 лет. Через 2 года старший будет в 4 раза старше младшего (сравнение возрастов в тот момент). Сколько им сейчас? Сначала запишите схему, потом равенство.
7. № 23. Разность возрастов 18 лет. 5 лет назад старший был в 2 раза старше младшего (сравнение возрастов в тот момент). Сколько им сейчас? Сначала запишите схему, потом равенство.
8. № 24. Разность возрастов 38 лет. Через 4 года старший будет в 3 раза старше младшего (сравнение возрастов в тот момент). Сколько им сейчас? Сначала запишите схему, потом равенство.

Ключ для самостоятельной проверки

Проверяйте сначала модель, затем вычисления. Если схему сделали правильно, но получили неправильные числа, пересчитайте перенос известного слагаемого. Если числа сходятся сейчас, но не сходятся в названный год, значит, в уравнении забыто изменение обоих возрастов.

Ответы к уровню I

1. № 1. [x] + [x + 5] = 23; 2x + 5 = 23; 2x = 18; x = 9. Старшему 14. Проверка: 9 + 14 = 23, разность 5.
2. № 2. [x] + [x + 4] = 28; 2x + 4 = 28; 2x = 24; x = 12. Старшему 16. Проверка: 12 + 16 = 28, разность 4.
3. № 3. [x] + [x + 9] = 39; 2x + 9 = 39; 2x = 30; x = 15. Старшему 24. Проверка: 15 + 24 = 39, разность 9.
4. № 4. [x] + [x + 7] = 41; 2x + 7 = 41; 2x = 34; x = 17. Старшему 24. Проверка: 17 + 24 = 41, разность 7.
5. № 5. [x] + [x + 11] = 37; 2x + 11 = 37; 2x = 26; x = 13. Старшему 24. Проверка: 13 + 24 = 37, разность 11.
6. № 6. [x] + [x + 5] = 47; 2x + 5 = 47; 2x = 42; x = 21. Старшему 26. Проверка: 21 + 26 = 47, разность 5.
7. № 7. [x] + [x + 12] = 44; 2x + 12 = 44; 2x = 32; x = 16. Старшему 28. Проверка: 16 + 28 = 44, разность 12.
8. № 8. [x] + [x + 8] = 56; 2x + 8 = 56; 2x = 48; x = 24. Старшему 32. Проверка: 24 + 32 = 56, разность 8.

Ответы к уровню II

1. № 9. (x + 4) + (x + 7 + 4) = 37, то есть 2x + 15 = 37. Получаем 2x = 22; x = 11, старшему 18. Проверка в указанный год: 15 + 22 = 37; разность возрастов 7.
2. № 10. (x − 3) + (x + 6 − 3) = 32, то есть 2x + 0 = 32. Получаем 2x = 32; x = 16, старшему 22. Проверка в указанный год: 13 + 19 = 32; разность возрастов 6.
3. № 11. (x + 5) + (x + 8 + 5) = 46, то есть 2x + 18 = 46. Получаем 2x = 28; x = 14, старшему 22. Проверка в указанный год: 19 + 27 = 46; разность возрастов 8.
4. № 12. (x − 4) + (x + 10 − 4) = 42, то есть 2x + 2 = 42. Получаем 2x = 40; x = 20, старшему 30. Проверка в указанный год: 16 + 26 = 42; разность возрастов 10.
5. № 13. (x + 2) + (x + 6 + 2) = 46, то есть 2x + 10 = 46. Получаем 2x = 36; x = 18, старшему 24. Проверка в указанный год: 20 + 26 = 46; разность возрастов 6.
6. № 14. (x − 5) + (x + 9 − 5) = 49, то есть 2x − 1 = 49. Получаем 2x = 50; x = 25, старшему 34. Проверка в указанный год: 20 + 29 = 49; разность возрастов 9.
7. № 15. (x + 7) + (x + 5 + 7) = 45, то есть 2x + 19 = 45. Получаем 2x = 26; x = 13, старшему 18. Проверка в указанный год: 20 + 25 = 45; разность возрастов 5.
8. № 16. (x − 6) + (x + 12 − 6) = 44, то есть 2x + 0 = 44. Получаем 2x = 44; x = 22, старшему 34. Проверка в указанный год: 16 + 28 = 44; разность возрастов 12.

Ответы к уровню III

1. № 17. Уравнение (x + 24 + 2) = 3(x + 2). После раскрытия скобок: 2x = 20; x = 10, старшему 34. Проверка: 36 : 12 = 3, разность сегодня 24.
2. № 18. Уравнение (x + 14 + 1) = 2(x + 1). После раскрытия скобок: 1x = 13; x = 13, старшему 27. Проверка: 28 : 14 = 2, разность сегодня 14.
3. № 19. Уравнение (x + 14 − 2) = 2(x − 2). После раскрытия скобок: 1x = 16; x = 16, старшему 30. Проверка: 28 : 14 = 2, разность сегодня 14.
4. № 20. Уравнение (x + 30 + 3) = 3(x + 3). После раскрытия скобок: 2x = 24; x = 12, старшему 42. Проверка: 45 : 15 = 3, разность сегодня 30.
5. № 21. Уравнение (x + 15 − 4) = 2(x − 4). После раскрытия скобок: 1x = 19; x = 19, старшему 34. Проверка: 30 : 15 = 2, разность сегодня 15.
6. № 22. Уравнение (x + 39 + 2) = 4(x + 2). После раскрытия скобок: 3x = 33; x = 11, старшему 50. Проверка: 52 : 13 = 4, разность сегодня 39.
7. № 23. Уравнение (x + 18 − 5) = 2(x − 5). После раскрытия скобок: 1x = 23; x = 23, старшему 41. Проверка: 36 : 18 = 2, разность сегодня 18.
8. № 24. Уравнение (x + 38 + 4) = 3(x + 4). После раскрытия скобок: 2x = 30; x = 15, старшему 53. Проверка: 57 : 19 = 3, разность сегодня 38.

Три принципа, которые полезно доказать

• Постоянство разности. Через t лет разность (x + d + t) − (x + t) = d. Таков главный смысл схемы.
• Различие суммы и разности. Через t лет сумма увеличится на 2t, потому что прибавляется t к каждому возрасту.
• Проверка возраста. Если задача возвращает событие в прошлом, оба возраста в прошлом должны оставаться неотрицательными; если кто-то ещё не родился, схема для данного момента не имеет жизненного смысла.