Сравнение абсолютного и процентного изменения после двух скидок разной величины: рабочий лист для 6 класса

Углублённый практикум, 6 класс · 24 задания. Цель — отличать экономию в рублях от экономии в процентах и правильно учитывать две последовательные скидки разной величины. В каждой задаче вторую скидку рассчитывают от цены после первой. Рубли — абсолютное изменение; проценты — относительное изменение с обязательным указанием исходной базы.

Метод: две скидки — не одна сумма

Пусть исходная цена 2 000 ₽. Сначала её снизили на 10 %: экономия 200 ₽ и цена 1 800 ₽. Следующая скидка 20 % составляет уже 360 ₽, а не 400 ₽. Получаем 1 440 ₽ и общую экономию 560 ₽. В процентах от 2 000 ₽ это 28 %, а не 30 %. Ошибка «10 + 20 = 30 %» возникает из-за смены базы второй скидки.

Удобная запись: итоговая цена = P · (1 − r/100) · (1 − s/100), абсолютная экономия = P − итоговая цена, итоговый процент = (абсолютная экономия / P) · 100 %. При перестановке двух ставок итоговая цена не изменится (произведение множителей то же), но размер первой и второй отдельных скидок в рублях обычно будет другим. Это важная проверка рассуждения.

Уровень I — раздельно считайте каждый шаг

Решайте задания 1–8 без калькулятора. В записи обязательно покажите цену после первого уменьшения; этот промежуточный шаг помогает быстро найти ошибку. После подсчёта сравните общую долю экономии с простой суммой двух ставок.

1. 1. Цена товара 1200 ₽. Последовательно применили скидки 10 % и 20 %. Вычислите две экономии в рублях, итоговую цену, общую экономию и её процент от начальной цены. Сравните с суммой процентов 30 %.
2. 2. Цена товара 1600 ₽. Последовательно применили скидки 25 % и 10 %. Вычислите две экономии в рублях, итоговую цену, общую экономию и её процент от начальной цены. Сравните с суммой процентов 35 %.
3. 3. Цена товара 2400 ₽. Последовательно применили скидки 15 % и 20 %. Вычислите две экономии в рублях, итоговую цену, общую экономию и её процент от начальной цены. Сравните с суммой процентов 35 %.
4. 4. Цена товара 3200 ₽. Последовательно применили скидки 10 % и 35 %. Вычислите две экономии в рублях, итоговую цену, общую экономию и её процент от начальной цены. Сравните с суммой процентов 45 %.
5. 5. Цена товара 2800 ₽. Последовательно применили скидки 20 % и 15 %. Вычислите две экономии в рублях, итоговую цену, общую экономию и её процент от начальной цены. Сравните с суммой процентов 35 %.
6. 6. Цена товара 4000 ₽. Последовательно применили скидки 5 % и 30 %. Вычислите две экономии в рублях, итоговую цену, общую экономию и её процент от начальной цены. Сравните с суммой процентов 35 %.
7. 7. Цена товара 3600 ₽. Последовательно применили скидки 25 % и 20 %. Вычислите две экономии в рублях, итоговую цену, общую экономию и её процент от начальной цены. Сравните с суммой процентов 45 %.
8. 8. Цена товара 6000 ₽. Последовательно применили скидки 10 % и 40 %. Вычислите две экономии в рублях, итоговую цену, общую экономию и её процент от начальной цены. Сравните с суммой процентов 50 %.

Уровень II — сравнение двух предложений

В пунктах 9–16 две торговые точки начинают с одной и той же цены. Поэтому разницу в итоговых ценах можно напрямую считать выигрышем в рублях; процент выигрыша магазина вычисляют от исходной цены, а не от итоговой. Если два предложения дают одинаковый итог, признайте равенство, а не ищите искусственного победителя.

9. 9. При исходной цене 1600 ₽ магазин А даёт сначала 10 %, затем 25 %, магазин Б — сначала 20 %, затем 15 %. Для каждого найдите окончательную цену и общую экономию (рубли и проценты). Где дешевле и на сколько рублей?
10. 10. При исходной цене 2400 ₽ магазин А даёт сначала 15 %, затем 30 %, магазин Б — сначала 25 %, затем 10 %. Для каждого найдите окончательную цену и общую экономию (рубли и проценты). Где дешевле и на сколько рублей?
11. 11. При исходной цене 3200 ₽ магазин А даёт сначала 30 %, затем 10 %, магазин Б — сначала 15 %, затем 20 %. Для каждого найдите окончательную цену и общую экономию (рубли и проценты). Где дешевле и на сколько рублей?
12. 12. При исходной цене 4000 ₽ магазин А даёт сначала 10 %, затем 40 %, магазин Б — сначала 35 %, затем 15 %. Для каждого найдите окончательную цену и общую экономию (рубли и проценты). Где дешевле и на сколько рублей?
13. 13. При исходной цене 2800 ₽ магазин А даёт сначала 20 %, затем 10 %, магазин Б — сначала 5 %, затем 25 %. Для каждого найдите окончательную цену и общую экономию (рубли и проценты). Где дешевле и на сколько рублей?
14. 14. При исходной цене 4800 ₽ магазин А даёт сначала 25 %, затем 20 %, магазин Б — сначала 10 %, затем 35 %. Для каждого найдите окончательную цену и общую экономию (рубли и проценты). Где дешевле и на сколько рублей?
15. 15. При исходной цене 3600 ₽ магазин А даёт сначала 5 %, затем 40 %, магазин Б — сначала 20 %, затем 15 %. Для каждого найдите окончательную цену и общую экономию (рубли и проценты). Где дешевле и на сколько рублей?
16. 16. При исходной цене 5000 ₽ магазин А даёт сначала 15 %, затем 25 %, магазин Б — сначала 30 %, затем 10 %. Для каждого найдите окончательную цену и общую экономию (рубли и проценты). Где дешевле и на сколько рублей?

Уровень III — восстановите цену и проверьте

В заданиях 17–24 известна только цена после двух скидок. Чтобы получить первоначальную, делите её на произведение двух коэффициентов остатка. Не прибавляйте к конечной цене проценты напрямую: например, прибавить 20 % к цене со скидкой 20 % не означает вернуться к исходной.

17. 17. После двух последовательных скидок 20 % и 30 % товар стал стоить 2800 ₽. Восстановите первоначальную цену. Найдите экономию на каждом шаге, общую экономию и итоговый процент от первоначальной цены. Проверьте обратным расчётом.
18. 18. После двух последовательных скидок 25 % и 15 % товар стал стоить 2550 ₽. Восстановите первоначальную цену. Найдите экономию на каждом шаге, общую экономию и итоговый процент от первоначальной цены. Проверьте обратным расчётом.
19. 19. После двух последовательных скидок 10 % и 40 % товар стал стоить 2700 ₽. Восстановите первоначальную цену. Найдите экономию на каждом шаге, общую экономию и итоговый процент от первоначальной цены. Проверьте обратным расчётом.
20. 20. После двух последовательных скидок 15 % и 20 % товар стал стоить 2720 ₽. Восстановите первоначальную цену. Найдите экономию на каждом шаге, общую экономию и итоговый процент от первоначальной цены. Проверьте обратным расчётом.
21. 21. После двух последовательных скидок 20 % и 25 % товар стал стоить 2400 ₽. Восстановите первоначальную цену. Найдите экономию на каждом шаге, общую экономию и итоговый процент от первоначальной цены. Проверьте обратным расчётом.
22. 22. После двух последовательных скидок 30 % и 10 % товар стал стоить 2520 ₽. Восстановите первоначальную цену. Найдите экономию на каждом шаге, общую экономию и итоговый процент от первоначальной цены. Проверьте обратным расчётом.
23. 23. После двух последовательных скидок 5 % и 20 % товар стал стоить 3040 ₽. Восстановите первоначальную цену. Найдите экономию на каждом шаге, общую экономию и итоговый процент от первоначальной цены. Проверьте обратным расчётом.
24. 24. После двух последовательных скидок 25 % и 30 % товар стал стоить 2100 ₽. Восстановите первоначальную цену. Найдите экономию на каждом шаге, общую экономию и итоговый процент от первоначальной цены. Проверьте обратным расчётом.

Ключ с решениями — уровень I

1. 1. Первая экономия 120 ₽, вторая 216 ₽ от оставшейся цены; итог 864 ₽. Сэкономили 336 ₽ = 28 % начальной цены. Не 30 %: второй процент берётся с меньшей базы.
2. 2. Первая экономия 400 ₽, вторая 120 ₽ от оставшейся цены; итог 1080 ₽. Сэкономили 520 ₽ = 32,5 % начальной цены. Не 35 %: второй процент берётся с меньшей базы.
3. 3. Первая экономия 360 ₽, вторая 408 ₽ от оставшейся цены; итог 1632 ₽. Сэкономили 768 ₽ = 32 % начальной цены. Не 35 %: второй процент берётся с меньшей базы.
4. 4. Первая экономия 320 ₽, вторая 1008 ₽ от оставшейся цены; итог 1872 ₽. Сэкономили 1328 ₽ = 41,5 % начальной цены. Не 45 %: второй процент берётся с меньшей базы.
5. 5. Первая экономия 560 ₽, вторая 336 ₽ от оставшейся цены; итог 1904 ₽. Сэкономили 896 ₽ = 32 % начальной цены. Не 35 %: второй процент берётся с меньшей базы.
6. 6. Первая экономия 200 ₽, вторая 1140 ₽ от оставшейся цены; итог 2660 ₽. Сэкономили 1340 ₽ = 33,5 % начальной цены. Не 35 %: второй процент берётся с меньшей базы.
7. 7. Первая экономия 900 ₽, вторая 540 ₽ от оставшейся цены; итог 2160 ₽. Сэкономили 1440 ₽ = 40 % начальной цены. Не 45 %: второй процент берётся с меньшей базы.
8. 8. Первая экономия 600 ₽, вторая 2160 ₽ от оставшейся цены; итог 3240 ₽. Сэкономили 2760 ₽ = 46 % начальной цены. Не 50 %: второй процент берётся с меньшей базы.

Ключ с решениями — уровень II

9. 9. А: 1080 ₽ (экономия 520 ₽, 32,5 %). Б: 1088 ₽ (экономия 512 ₽, 32 %). Выгоднее A; разница 8 ₽.
10. 10. А: 1428 ₽ (экономия 972 ₽, 40,5 %). Б: 1620 ₽ (экономия 780 ₽, 32,5 %). Выгоднее A; разница 192 ₽.
11. 11. А: 2016 ₽ (экономия 1184 ₽, 37 %). Б: 2176 ₽ (экономия 1024 ₽, 32 %). Выгоднее A; разница 160 ₽.
12. 12. А: 2160 ₽ (экономия 1840 ₽, 46 %). Б: 2210 ₽ (экономия 1790 ₽, 44,75 %). Выгоднее A; разница 50 ₽.
13. 13. А: 2016 ₽ (экономия 784 ₽, 28 %). Б: 1995 ₽ (экономия 805 ₽, 28,75 %). Выгоднее Б; разница 21 ₽.
14. 14. А: 2880 ₽ (экономия 1920 ₽, 40 %). Б: 2808 ₽ (экономия 1992 ₽, 41,5 %). Выгоднее Б; разница 72 ₽.
15. 15. А: 2052 ₽ (экономия 1548 ₽, 43 %). Б: 2448 ₽ (экономия 1152 ₽, 32 %). Выгоднее A; разница 396 ₽.
16. 16. А: 3187,5 ₽ (экономия 1812,5 ₽, 36,25 %). Б: 3150 ₽ (экономия 1850 ₽, 37 %). Выгоднее Б; разница 37,5 ₽.

Подробный ключ — уровень III

17. 17. Коэффициент остатка (80/100) × (70/100) = 14/25; начальная цена 5000 ₽. Экономия по шагам 1000 ₽ и 1200 ₽; всего 2200 ₽ (44 %). Проверка: 5000 ₽ − 1000 ₽ − 1200 ₽ = 2800 ₽.
18. 18. Коэффициент остатка (75/100) × (85/100) = 51/80; начальная цена 4000 ₽. Экономия по шагам 1000 ₽ и 450 ₽; всего 1450 ₽ (36,25 %). Проверка: 4000 ₽ − 1000 ₽ − 450 ₽ = 2550 ₽.
19. 19. Коэффициент остатка (90/100) × (60/100) = 27/50; начальная цена 5000 ₽. Экономия по шагам 500 ₽ и 1800 ₽; всего 2300 ₽ (46 %). Проверка: 5000 ₽ − 500 ₽ − 1800 ₽ = 2700 ₽.
20. 20. Коэффициент остатка (85/100) × (80/100) = 17/25; начальная цена 4000 ₽. Экономия по шагам 600 ₽ и 680 ₽; всего 1280 ₽ (32 %). Проверка: 4000 ₽ − 600 ₽ − 680 ₽ = 2720 ₽.
21. 21. Коэффициент остатка (80/100) × (75/100) = 3/5; начальная цена 4000 ₽. Экономия по шагам 800 ₽ и 800 ₽; всего 1600 ₽ (40 %). Проверка: 4000 ₽ − 800 ₽ − 800 ₽ = 2400 ₽.
22. 22. Коэффициент остатка (70/100) × (90/100) = 63/100; начальная цена 4000 ₽. Экономия по шагам 1200 ₽ и 280 ₽; всего 1480 ₽ (37 %). Проверка: 4000 ₽ − 1200 ₽ − 280 ₽ = 2520 ₽.
23. 23. Коэффициент остатка (95/100) × (80/100) = 19/25; начальная цена 4000 ₽. Экономия по шагам 200 ₽ и 760 ₽; всего 960 ₽ (24 %). Проверка: 4000 ₽ − 200 ₽ − 760 ₽ = 3040 ₽.
24. 24. Коэффициент остатка (75/100) × (70/100) = 21/40; начальная цена 4000 ₽. Экономия по шагам 1000 ₽ и 900 ₽; всего 1900 ₽ (47,5 %). Проверка: 4000 ₽ − 1000 ₽ − 900 ₽ = 2100 ₽.

Проверка каждого результата

Итоговая цена при двух положительных скидках ниже исходной и не может быть отрицательной. Процент экономии всегда меньше 100 %; при ставках r и s меньше 100 % он равен r + s − rs/100, а не r + s. Для обратных задач после восстановления исходной цены снова последовательно уменьшите её на обе ставки: обязательно должна выйти известная итоговая цена. Не округляйте промежуточные дроби до завершения расчёта, иначе потеряете точность.

Самостоятельная рефлексия. Объясните, почему порядок применения 10 % и 20 % не меняет конечную стоимость, хотя денежное выражение скидок меняется. Укажите, какую именно сумму считают базой для второго процента, и сформулируйте общий критерий сравнения двух скидочных предложений при одинаковой начальной цене.