Сравнение абсолютного и процентного изменения при изменении базы сравнения — самостоятельная работа, 6 класс

Практическая ситуация: занятия в кружке

6 класс · самостоятельная работа, 14 связанных задач. Методист сравнивает число посещений математического кружка за две недели. Все значения в таблице — учебные данные. Обратите внимание: «прибавилось 20 посещений» и «прибавилось 20 %» — совершенно разные сообщения. Процент зависит от выбора базы сравнения.

Составьте математическую модель

Если число посещений изменилось от A до B, то абсолютное изменение Δ = B − A (посещений), процентное изменение p = (B − A)/A × 100 % при A ≠ 0. Для сравнения в обратную сторону меняются местами A и B; числитель меняет знак, но также меняется знаменатель: pобратное = (A − B)/B × 100 %. Поэтому проценты вперёд и обратно в общем случае не противоположны.

При решении каждой задачи подписывайте, какие значения являются старой и новой базой. Для снижения используйте знак «−» у Δ или отдельно пишите величину снижения с положительным числом; не смешивайте эти два способа в одной строке.

Вопросы к таблице и смене базы

1. По группе А найдите абсолютное изменение в посещениях и процентное изменение относительно первой недели.
2. Для группы Б выполните те же вычисления. Почему процент совпадает с процентом группы А, хотя прибавка вдвое больше?
3. Для группы В определите изменение с первой на вторую неделю в абсолютных величинах и в процентах.
4. В группе Г посещаемость уменьшилась. Запишите изменение со знаком, а затем процент снижения относительно первой недели.
5. Найдите для группы Д изменение и его процент. В какой группе из двух — Г или Д — процент падения больше?
6. В группе Е изменение в людях сравните с группой Б; затем сравните проценты изменения. Что получилось?
7. Рассчитайте для группы А процент изменения в обратную сторону: от второй недели к первой. Совпадает ли он со знаком, противоположным первому проценту?
8. Повторите обратное сравнение для группы Г: от второй недели к первой. Почему обратный процент отличается от 25 %?
9. Для группы Д пересчитайте абсолютное и процентное изменение при принятии второй недели за базу.
10. Назовите группы, для которых абсолютное изменение равно +20 посещений. Найдите их проценты изменения и объясните различие.
11. Назовите группы с ростом ровно 25 % относительно первой недели и сопоставьте их рубежи роста в посещениях.
12. Посчитайте суммарные посещения всех групп за каждую неделю, абсолютную и процентную динамику всего кружка.
13. Если для группы Б за базу ошибочно принять 100 посещений вместо 80, какой процент получим? Покажите верную базу.
14. Докажите на группе Г, что восстановление прежнего значения после падения требует большего процента роста, чем процент первоначального падения.

Полный ключ и пояснения

1. 1. Группа А: 10 посещений; 25 % от первой недели.
2. 2. Группа Б: 20 посещений; 25 % от первой недели. Абсолютная разница отличается, но отношение прироста к исходному количеству одинаково.
3. 3. Группа В: 30 посещений; 25 % от первой недели.
4. 4. Группа Г: −40 посещений; −25 % от первой недели.
5. 5. Группа Д: −15 посещений; −20 % от первой недели. В группе Г процент падения 25 %, а в группе Д 20 %, поэтому доля снижения больше у Г.
6. 6. Группа Е: 20 посещений; 10 % от первой недели. Изменения обеих групп +20, но в группе Б процент +25 %, а в группе Е только +10 %.
7. 7. А: 50 → 40, изменение −10; −20 %. Вперёд было +25 %, обратно −20 %: разные базы 40 и 50.
8. 8. Г: 120 → 160, прибавка +40; 33 1/3 %. Чтобы компенсировать падение 25 %, нужно увеличить уменьшившуюся величину на 33 1/3 %.
9. 9. Д: 60 → 75, прибавка +15 посещений; 25 %. При исходном направлении было −20 %, теперь +25 %.
10. 10. Группы Б и Е: обе прибавили по 20 посещений. Б: 20/80 = 25 %; Е: 20/200 = 10 %. Одинаковая абсолютная прибавка даёт разные относительные изменения из-за разных исходных значений.
11. 11. Группы А, Б и В: изменения +10, +20 и +30 соответственно. У всех +25 %, потому что каждая прибавка составляет ровно четверть своего исходного значения.
12. 12. Сначала 675, затем 700 посещений; изменение 25; 3 19/27 % от общего количества первой недели. Нельзя усреднять шесть процентов без учёта количества посещений в группах.
13. 13. Ошибка: 20/100 × 100 % = 20 %. Верно: 20/80 × 100 % = 25 %, поскольку базой сравнения при росте является первая неделя.
14. 14. После падения с 160 до 120 надо прибавить 40, а это 40/120 × 100 % = 33 1/3 %. Поэтому падение на 25 % не компенсируется ростом на 25 % от уменьшенной базы.

Проверка разумности

Перед сдачей сравните результат с исходными величинами. Если было 200, стало 220, то изменение точно не может составлять 50 %: каждый десятый от двухсот — 20 посещений. Если число упало со 160 до 120, доля падения равна четверти от 160. Но для возвращения к 160 требуется уже треть от 120. Обе записи верны, хотя проценты различны, потому что меняется начальное число.

Для суммы по всем группам нельзя складывать или усреднять проценты механически: у групп разные исходные количества посещений. Сначала складывают абсолютные данные по столбцам, затем считают процент от общего количества первой недели. Это позволяет сравнить общую динамику корректно.

Самопроверка: в ответе видны выбранная база, единица измерения абсолютного изменения и знак; для обратного пересчёта указан новый знаменатель. Если в задаче получен процент без пояснения «от чего», такой ответ считается неполным.

Дополнительное наблюдение. Математически корректный процент допускает представление обыкновенной дробью, например 3 19/27 %. Это точное значение; если требуется приблизительная десятичная запись для отчёта, укажите знак приближения и заранее договоритесь округлять до сотых процента. Абсолютное изменение при этом остаётся точным целым числом посещений. Эти два способа записи нельзя смешивать: округление процента не должно изменять исходное число посещений.