Сравнение абсолютного и процентного изменения при увеличении и последующем уменьшении — тематические карточки для 6 класса

Тезис для проверки

6 класс · 12 задач с объяснением и доказательством. Рассмотрите утверждение: «Если величину увеличить на 20 %, а затем уменьшить на те же 20 %, получится исходное число». Оно выглядит правдоподобно, но в общем случае ложно: вторые 20 % берутся уже от увеличенного значения. Требуется не просто назвать ответ, а объяснить, откуда возникло различие.

Почему простое вычитание процентов неверно

Возьмём исходное 100. Прибавили 20 % от 100 — стало 120. Уменьшили на 20 % от 120, то есть на 24, — стало 96. Абсолютное изменение −4, процент от исходных 100 равен −4 %. Получилось не 100. При одинаковых процентах p итоговый коэффициент равен (1 + p/100)(1 − p/100) = 1 − (p/100)². Поскольку квадрат положителен при ненулевом p, итог меньше начального при 0 < p < 100.

Для разных ставок увеличения a % и последующего уменьшения b % коэффициент равен (1 + a/100)(1 − b/100). Поэтому общее процентное изменение относительно первоначального имеет значение a − b − ab/100 процентов. Это выражение может оказаться положительным, отрицательным или нулевым. Не сравнивайте только a и b: важен ещё член ab/100, отражающий новую базу после первого действия.

Проверка особых случаев

При нулевом первом проценте увеличение ничего не меняет; если затем тоже ничего не уменьшают, результат исходный. Если же сначала действительно увеличили число (a > 0), то для точного возврата нужна скидка не a %, а b = 100a/(100 + a) %. Эту формулу можно вывести из равенства конечного и начального коэффициентов.

Следите за формулировкой: абсолютное изменение имеет единицу измерения исходной величины, процентное — относится к явно названной базе. Если исходная величина не задана, можно доказать результат в процентах, но нельзя назвать абсолютное изменение в единицах.

Самостоятельные доказательства и вычисления

1. Проверьте утверждение, будто одинаковые проценты повышения и последующего понижения взаимно уничтожаются. Начальное значение 100; сначала увеличение на 10 %, затем уменьшение на 10 %. Вычислите промежуточное значение, конечное, абсолютное Δ и процентное Δ относительно начала.
2. Проверьте утверждение, будто одинаковые проценты повышения и последующего понижения взаимно уничтожаются. Начальное значение 250; сначала увеличение на 20 %, затем уменьшение на 20 %. Вычислите промежуточное значение, конечное, абсолютное Δ и процентное Δ относительно начала.
3. Проверьте утверждение, будто одинаковые проценты повышения и последующего понижения взаимно уничтожаются. Начальное значение 400; сначала увеличение на 30 %, затем уменьшение на 30 %. Вычислите промежуточное значение, конечное, абсолютное Δ и процентное Δ относительно начала.
4. Докажите расчётом, что выбранное последующее уменьшение возвращает к начальной величине. Начальное значение 320; сначала увеличение на 25 %, затем уменьшение на 20 %. Вычислите промежуточное значение, конечное, абсолютное Δ и процентное Δ относительно начала.
5. Докажите расчётом, что выбранное последующее уменьшение возвращает к начальной величине. Начальное значение 300; сначала увеличение на 50 %, затем уменьшение на 33 1/3 %. Вычислите промежуточное значение, конечное, абсолютное Δ и процентное Δ относительно начала.
6. Докажите расчётом, что выбранное последующее уменьшение возвращает к начальной величине. Начальное значение 600; сначала увеличение на 20 %, затем уменьшение на 16 2/3 %. Вычислите промежуточное значение, конечное, абсолютное Δ и процентное Δ относительно начала.
7. Определите направление изменения и докажите его численно и через процент от первоначального. Начальное значение 500; сначала увеличение на 40 %, затем уменьшение на 15 %. Вычислите промежуточное значение, конечное, абсолютное Δ и процентное Δ относительно начала.
8. Определите направление изменения и докажите его численно и через процент от первоначального. Начальное значение 800; сначала увеличение на 15 %, затем уменьшение на 30 %. Вычислите промежуточное значение, конечное, абсолютное Δ и процентное Δ относительно начала.
9. Определите направление изменения и докажите его численно и через процент от первоначального. Начальное значение 200; сначала увеличение на 60 %, затем уменьшение на 25 %. Вычислите промежуточное значение, конечное, абсолютное Δ и процентное Δ относительно начала.
10. Сначала число 700 увеличили на 20 %, затем уменьшили на 10 %. Другой ученик сначала уменьшил исходное число на 10 %, а затем увеличил на 20 %. Одинаковы ли итог и два промежуточных результата? Докажите свой ответ.
11. Выведите формулу процента уменьшения b, который возвращает исходную величину после роста на a %. Используйте a = 40 % и найдите b точно; покажите, почему b не равно 40 %.
12. Число 1 000 сначала увеличили на 30 %, затем уменьшили на 40 %. На сколько единиц и процентов от исходного оно изменилось? Какой процент роста от полученного значения требуется, чтобы восстановить 1 000?

Разбор всех двенадцати случаев

1. 1. После увеличения 110, после уменьшения 99. Δ = −1, процент = −1 % (снижение). Проверка: 100 × (1 + 10/100) × (1 − 10/100) = 99.
2. 2. После увеличения 300, после уменьшения 240. Δ = −10, процент = −4 % (снижение). Проверка: 250 × (1 + 20/100) × (1 − 20/100) = 240.
3. 3. После увеличения 520, после уменьшения 364. Δ = −36, процент = −9 % (снижение). Проверка: 400 × (1 + 30/100) × (1 − 30/100) = 364.
4. 4. После увеличения 400, после уменьшения 320. Δ = 0, процент = 0 % (изменения нет). Проверка: 320 × (1 + 25/100) × (1 − 20/100) = 320.
5. 5. После увеличения 450, после уменьшения 300. Δ = 0, процент = 0 % (изменения нет). Проверка: 300 × (1 + 50/100) × (1 − 33 1/3/100) = 300.
6. 6. После увеличения 720, после уменьшения 600. Δ = 0, процент = 0 % (изменения нет). Проверка: 600 × (1 + 20/100) × (1 − 16 2/3/100) = 600.
7. 7. После увеличения 700, после уменьшения 595. Δ = 95, процент = 19 % (прирост). Проверка: 500 × (1 + 40/100) × (1 − 15/100) = 595.
8. 8. После увеличения 920, после уменьшения 644. Δ = −156, процент = −19,5 % (снижение). Проверка: 800 × (1 + 15/100) × (1 − 30/100) = 644.
9. 9. После увеличения 320, после уменьшения 240. Δ = 40, процент = 20 % (прирост). Проверка: 200 × (1 + 60/100) × (1 − 25/100) = 240.
10. 10. В первом порядке: 700 → 840 → 756; во втором: 700 → 630 → 756. Конечное одинаково: множители 1,2 и 0,9 переставляются без изменения произведения. Промежуточные значения различны: 840 и 630.
11. 11. (1 + a/100)(1 − b/100) = 1, значит b = 100a/(100 + a) %. Для a = 40 получаем b = 4000/140 = 28 4/7 %, а не 40 %. Уменьшение считают от уже увеличенной базы.
12. 12. 1000 → 1300 → 780. Изменение −220, то есть −22 % исходного значения. Для возврата требуется прибавить 220/780 × 100 % = 28 8/39 % от оставшихся 780. Обратный процент больше 22 %, потому что база меньше.

Каким должно быть обоснование

В задачах 1–3 важно представить именно контрпример к ложному общему утверждению: одной корректно выполненной цепочки с ненулевым изменением достаточно, чтобы фраза «всегда возвращается» стала неверной. Задачи 4–6 показывают не случайное совпадение, а специальную подобранную величину обратного процента, гарантирующую точный возврат.

В задачах 7–9 полезно сравнивать знак a − b − ab/100 с найденным конечным числом. Если разность отрицательная, абсолютное изменение тоже отрицательно для положительного исходного значения. Положительное изменение возможно, даже если второе уменьшение достаточно заметно: решает произведение двух коэффициентов. Задача 10 доказывает, что порядок именно двух последовательных умножений не влияет на конец, но влияет на промежуточные значения.

Критерий верного решения: выписан начальный уровень, явно указана база второго процента, посчитано абсолютное изменение с правильным знаком, процент выражен относительно исходного значения, а в вопросах с общим утверждением приведено доказательство или контрпример.