Сравнение дробей с буквенными положительными параметрами — карточки с ответами, 8 класс

Углублённый практикум, 8 класс. Сравнивать дроби с буквенными положительными параметрами можно не угадывая значения, а доказывая знак разности. Положительные a и b разрешают умножать обе части неравенства на положительный знаменатель без смены знака. Но из a>0, b>0 само по себе не следует ни a>b, ни a<b.

Пограничные случаи и строгая логика

Пример 1: сравните a/(a+b) и b/(a+b). Разность = (a−b)/(a+b). Если a>b — первая больше; если a=b — равны; если a<b — первая меньше. Поэтому универсального знака нет. Запись только «>» без дополнительного условия неверна.

Пример 2: a/(a+b) и a/(a+2b). При положительном a фиксированный числитель один и тот же, а второй знаменатель больше. Следовательно, первая дробь строго больше, равенства при b>0 не бывает.

Полезный метод — разность. Для дробей A/B и C/D с B,D>0 знак сравнения тот же, что у A·D − C·B. Если числитель разности раскладывается в (a−b)·(положительный множитель), ответ зависит от порядка a и b. Если числитель содержит b² либо положительную сумму, знак может оказаться неизменным.

Уровень I. Однозначные неравенства и равенства

1. При a>0, b>0 сравните a/(a + b) и a/(a + 2·b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
2. При a>0, b>0 сравните a/(a + b) и b/(a + b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
3. При a>0, b>0 сравните a/(a + b) и 1/2. Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
4. При a>0, b>0 сравните a/(a + 2·b) и a/(2·a + b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
5. При a>0, b>0 сравните (a + b)/(a + 2·b) и (a + b)/(2·a + b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
6. При a>0, b>0 сравните (a + 1)/(a + b + 1) и a/(a + b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
7. При a>0, b>0 сравните a/(a + b) и a/(a + b + 1). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
8. При a>0, b>0 сравните b/(a + b) и b/(2·a + b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.

Уровень II. Проверка условий и скрытых сокращений

9. При a>0, b>0 сравните (a + b)/(2·a + 2·b) и 1/2. Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
10. При a>0, b>0 сравните (a + b)/(a + 2·b) и a/(a + b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
11. При a>0, b>0 сравните a/(a + b) и (a + b)/(a + 2·b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
12. При a>0, b>0 сравните (a + 3·b)/(a + b) и 1. Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
13. При a>0, b>0 сравните a/(2·a + b) и b/(a + 2·b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
14. При a>0, b>0 сравните b/(2·a + b) и a/(a + 2·b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
15. При a>0, b>0 сравните (a + b)/(a + 3·b) и a/(a + b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
16. При a>0, b>0 сравните a/(a + 3·b) и a/(a + b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.

Уровень III. Доказательные сравнения и границы

17. При a>0, b>0 сравните b/(3·a + b) и b/(a + b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
18. При a>0, b>0 сравните (2·a + b)/(a + b) и 1. Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
19. При a>0, b>0 сравните (a + b)/(3·a + 3·b) и 1/3. Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
20. При a>0, b>0 сравните a/(a + 4·b) и b/(4·a + b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
21. При a>0, b>0 сравните a/(a + b) и 2·a/(2·a + 2·b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
22. При a>0, b>0 сравните (a + 2·b)/(2·a + b) и 1. Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
23. При a>0, b>0 сравните (a + b)/(a + 4·b) и (a + b)/(2·a + 3·b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
24. При a>0, b>0 сравните (a + b)/(3·a + b) и (a + b)/(a + 3·b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
25. При a>0, b>0 сравните (a + 2·b)/(a + b) и (a + b)/(a + 2·b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.
26. При a>0, b>0 сравните b/(a + 2·b) и b/(a + 5·b). Можно ли поставить один и тот же знак при любых положительных a и b? Обоснуйте знак для каждого возможного случая.

Разобранные ответы для всех заданий

1. Разность первой и второй дробей равна a·b/(a² + 3·a·b + 2·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = a·b, знаменатель = (a + b)·(a + 2·b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому первая дробь больше. Граница a=b допустима и учтена.
2. Разность первой и второй дробей равна (a - b)/(a + b). После приведения к общему знаменателю числитель = a - b, знаменатель = a + b. При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому при a>b первая больше, при a=b равны, при a. Граница a=b допустима и учтена.
3. Разность первой и второй дробей равна (a - b)/(2·a + 2·b). После приведения к общему знаменателю числитель = a - b, знаменатель = 2·(a + b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому при a>b первая больше, при a=b равны, при a. Граница a=b допустима и учтена.
4. Разность первой и второй дробей равна (a² - a·b)/(2·a² + 5·a·b + 2·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = a·(a - b), знаменатель = (a + 2·b)·(2·a + b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому при a>b первая больше, при a=b равны, при a. Граница a=b допустима и учтена.
5. Разность первой и второй дробей равна (a² - b²)/(2·a² + 5·a·b + 2·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = (a - b)·(a + b), знаменатель = (a + 2·b)·(2·a + b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому при a>b первая больше, при a=b равны, при a. Граница a=b допустима и учтена.
6. Разность первой и второй дробей равна b/(a² + 2·a·b + a + b² + b). После приведения к общему знаменателю числитель = b, знаменатель = (a + b)·(a + b + 1). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому первая дробь больше. Граница a=b допустима и учтена.
7. Разность первой и второй дробей равна a/(a² + 2·a·b + a + b² + b). После приведения к общему знаменателю числитель = a, знаменатель = (a + b)·(a + b + 1). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому первая дробь больше. Граница a=b допустима и учтена.
8. Разность первой и второй дробей равна a·b/(2·a² + 3·a·b + b²). После приведения к общему знаменателю числитель = a·b, знаменатель = (a + b)·(2·a + b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому первая дробь больше. Граница a=b допустима и учтена.
9. Разность первой и второй дробей равна 0. После приведения к общему знаменателю числитель = 0, знаменатель = 1. При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому дроби равны. Граница a=b допустима и учтена.
10. Разность первой и второй дробей равна b²/(a² + 3·a·b + 2·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = b², знаменатель = (a + b)·(a + 2·b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому первая дробь больше. Граница a=b допустима и учтена.
11. Разность первой и второй дробей равна -b²/(a² + 3·a·b + 2·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = -b², знаменатель = (a + b)·(a + 2·b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому первая дробь меньше. Граница a=b допустима и учтена.
12. Разность первой и второй дробей равна 2·b/(a + b). После приведения к общему знаменателю числитель = 2·b, знаменатель = a + b. При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому первая дробь больше. Граница a=b допустима и учтена.
13. Разность первой и второй дробей равна (a² - b²)/(2·a² + 5·a·b + 2·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = (a - b)·(a + b), знаменатель = (a + 2·b)·(2·a + b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому при a>b первая больше, при a=b равны, при a. Граница a=b допустима и учтена.
14. Разность первой и второй дробей равна (-2·a² + 2·b²)/(2·a² + 5·a·b + 2·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = -2·(a - b)·(a + b), знаменатель = (a + 2·b)·(2·a + b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому при a>b первая меньше, при a=b равны, при a. Граница a=b допустима и учтена.
15. Разность первой и второй дробей равна (-a·b + b²)/(a² + 4·a·b + 3·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = -b·(a - b), знаменатель = (a + b)·(a + 3·b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому при a>b первая меньше, при a=b равны, при a. Граница a=b допустима и учтена.
16. Разность первой и второй дробей равна -2·a·b/(a² + 4·a·b + 3·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = -2·a·b, знаменатель = (a + b)·(a + 3·b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому первая дробь меньше. Граница a=b допустима и учтена.
17. Разность первой и второй дробей равна -2·a·b/(3·a² + 4·a·b + b²). После приведения к общему знаменателю числитель = -2·a·b, знаменатель = (a + b)·(3·a + b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому первая дробь меньше. Граница a=b допустима и учтена.
18. Разность первой и второй дробей равна a/(a + b). После приведения к общему знаменателю числитель = a, знаменатель = a + b. При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому первая дробь больше. Граница a=b допустима и учтена.
19. Разность первой и второй дробей равна 0. После приведения к общему знаменателю числитель = 0, знаменатель = 1. При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому дроби равны. Граница a=b допустима и учтена.
20. Разность первой и второй дробей равна (4·a² - 4·b²)/(4·a² + 17·a·b + 4·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = 4·(a - b)·(a + b), знаменатель = (a + 4·b)·(4·a + b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому при a>b первая больше, при a=b равны, при a. Граница a=b допустима и учтена.
21. Разность первой и второй дробей равна 0. После приведения к общему знаменателю числитель = 0, знаменатель = 1. При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому дроби равны. Граница a=b допустима и учтена.
22. Разность первой и второй дробей равна (-a + b)/(2·a + b). После приведения к общему знаменателю числитель = -a + b, знаменатель = 2·a + b. При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому при a>b первая меньше, при a=b равны, при a. Граница a=b допустима и учтена.
23. Разность первой и второй дробей равна (a² - b²)/(2·a² + 11·a·b + 12·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = (a - b)·(a + b), знаменатель = (a + 4·b)·(2·a + 3·b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому при a>b первая больше, при a=b равны, при a. Граница a=b допустима и учтена.
24. Разность первой и второй дробей равна (-2·a² + 2·b²)/(3·a² + 10·a·b + 3·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = -2·(a - b)·(a + b), знаменатель = (a + 3·b)·(3·a + b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому при a>b первая меньше, при a=b равны, при a. Граница a=b допустима и учтена.
25. Разность первой и второй дробей равна (2·a·b + 3·b²)/(a² + 3·a·b + 2·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = b·(2·a + 3·b), знаменатель = (a + b)·(a + 2·b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому первая дробь больше. Граница a=b допустима и учтена.
26. Разность первой и второй дробей равна 3·b²/(a² + 7·a·b + 10·b²). После приведения к общему знаменателю числитель = 3·b², знаменатель = (a + 2·b)·(a + 5·b). При a,b>0 знаменатель положителен, поэтому первая дробь больше. Граница a=b допустима и учтена.