Сравнение двух интегралов для графика с частями ниже оси — задания с разбором, 11 класс

Математика • 11 класс • MATH-1909

Цель карточки: сравнивать определённые интегралы по знакам частей графика, не смешивая интеграл с геометрической площадью.

Мини-тест: считайте ориентированные площади, а не закрашенные клетки

Условие всех заданий: графики считаются интегрируемыми на указанных отрезках. Площадь фигуры ниже Ox входит в определённый интеграл со знаком минус. Если область над осью имеет геометрическую площадь P, а область под осью — N, то значение интеграла P−N; суммарная геометрическая площадь равна P+N. Эти выражения совпадают только при N=0.

Задания разных типов: вычисление по описанию графика, сравнение двух интегралов, поиск ошибки, восстановление неизвестного вклада. Запишите знак каждого участка ещё до складывания чисел. За каждый правильный ответ и обоснование начисляйте по 1 баллу, всего 12.

1. На первом отрезке график выше Ox и площадь 6, на втором ниже и площадь 4. Сравните интеграл по объединению и сумму геометрических площадей.
2. Две соседние области под графиком ниже оси имеют площади 3 и 5. Сравните интегралы по каждой части.
3. На [0,2] ориентированная площадь равна −7, на [2,5] равна +2. Чему равен интеграл на [0,5]?
4. График даёт положительный вклад 9 и отрицательный вклад 9. Можно ли заключить, что функции нет ниже оси?
5. Для f(x)=x−2 сравните ∫ от 0 до 2 f(x)dx и ∫ от 2 до 4 f(x)dx.
6. На первом участке график ниже Ox: площадь 12. На втором выше: площадь 8. Сравните два интеграла и укажите разность первого и второго.
7. На [a,c] итоговый интеграл −3, а на [a,b] вклад +4. Вычислите интеграл на [b,c].
8. Ученик сложил площади 2, 3 и 4 для трёх участков, если знаки соответственно +, −, +. Исправьте.
9. Положительная часть графика имеет площадь 5, отрицательная 11. Сравните интеграл и число −4.
10. У f(x)=−2 на [1,4] и g(x)=−1 на том же отрезке. Сравните интегралы.
11. У непрерывной f на [0,4] положительный вклад 7, отрицательный 2. Мог ли интеграл равняться 9?
12. Сравните ∫ от −1 до 1 xdx и ∫ от −1 до 1 |x|dx по подписанным площадям.

Ключ с разбором неоднозначных случаев

1. Интеграл 6−4=2, а сумма геометрических площадей 6+4=10. Первое меньше второго на 8.
2. Оба интеграла отрицательны: −3 и −5. Значит первый больше второго, хотя его геометрическая площадь меньше.
3. По аддитивности −7+2=−5: отрицательная часть преобладает.
4. Нельзя. Интеграл 9−9=0, хотя на части области функция отрицательна. Равенство интеграла нулю не означает f(x)=0.
5. Левый треугольник под осью имеет площадь 2: интеграл −2. Правый над осью тоже площади 2: интеграл +2. Первый меньше.
6. Первый интеграл −12, второй +8, первый меньше; их разность −20.
7. Искомый интеграл −3−4=−7; его отрицательность означает преобладание части графика ниже Ox.
8. Правильный интеграл 2−3+4=3, а не 9. Площадь под графиком как геометрическая величина равна 2+3+4=9.
9. Интеграл 5−11=−6; −6<−4. Сравнение требует сохранить знак вклада ниже оси.
10. Первый −2·3=−6, второй −1·3=−3; −6<−3, хотя модуль первого больше.
11. Нет. Интеграл равен разности 7−2=5. Значение 9 является общей геометрической площадью, но не определённым интегралом.
12. Первый 0 из-за компенсации одинаковых противоположных треугольников. Второй равен 1, поскольку обе части неотрицательны. Поэтому 0<1.

Критерии оценки

Уточнение: из отрицательного значения интеграла не следует, что график находится ниже оси на всём промежутке. Например, если положительный вклад равен 3, а отрицательный 5, итог −2, хотя над осью есть непустая часть. И наоборот, интеграл 0 не означает отсутствия фигуры.