Сравнение двух интегралов для нечётной функции на симметричном отрезке — диагностика ошибок, 11 класс

Математика • 11 класс • MATH-1907

Цель карточки: обосновывать сравнение двух интегралов по нечётности, выявлять подмену симметричного и половинного отрезка.

Подозрительный тезис: «две симметричные границы — значит одинаковые результаты»

Наличие границ −a и a само по себе ничего не говорит о равенстве двух интегралов. Требуется установить нечётность каждой подынтегральной функции и существование определённого интеграла. Для нечётной функции f(−x)=−f(x), а отражённые относительно нуля части отрезка дают противоположные ориентированные площади.

Короткое доказательство, которое можно воспроизвести

Пусть I=∫ от −a до 0 f(x)dx. Подстановка x=−t переводит этот интеграл в ∫ от a до 0 f(−t)(−dt) = ∫ от 0 до a f(−t)dt = −∫ от 0 до a f(t)dt. Поэтому сумма интегралов от −a до 0 и от 0 до a равна нулю. Не имеет значения, сколько раз внутри отрезка функция меняет знак; достаточно нечётности и интегрируемости.

Здесь «две интегральные записи равны» и «два графика одинаковы» — разные утверждения. Можно взять f=x и g=x³: на [−2,2] их интегралы одинаковы и равны нулю, но функции различны почти всюду. А при добавлении к нечётной функции постоянной c симметричный интеграл меняется на 2ac.

Двенадцать заданий: определить, какой интеграл больше

1. Для f(x)=3x сравните A=∫ от −2 до 2 f(x)dx и B=∫ от 0 до 2 f(x)dx.
2. Для f(x)=−2x³ сравните A=∫ от −1 до 1 f(x)dx и B=∫ от −1 до 0 f(x)dx.
3. Для f(x)=x⁵−x сравните интегралы от −1 до 1 и от −2 до 2.
4. Сравните ∫ от −3 до 3 x³dx и ∫ от −3 до 3 (x³+2)dx.
5. Сравните ∫ от −2 до 2 (x⁵−5x)dx и ∫ от −2 до 2 (x⁵−5x−1)dx.
6. Для f(x)=x³ сравните ∫ от −2 до 2 f(x)dx и ∫ от −2 до 2 |f(x)|dx.
7. Школьник записал: «∫ от −2 до 2 x³dx = ∫ от 0 до 2 x³dx». Найдите ошибку.
8. Доказать, что ∫ от −a до a [f(x)+f(−x)]dx = 0 для любой f. Верен ли тезис?
9. Даны A=∫ от −4 до 4 (2x⁷−x)dx и B=∫ от −4 до 4 (x³+3x)dx. Сравните без вычисления первообразных.
10. Вычислите разность A−B, где A=∫ от −1 до 1 (x³+4)dx, B=∫ от −1 до 1 (x⁵−1)dx.
11. Для f(x)=x³−4x на [−3,3] верно ли A=∫ от −3 до 0 f(x)dx > 0? Сравните A и B=∫ от 0 до 3 f(x)dx.
12. На [−2,2] функция f(x)=x²−x. Объясните, почему нельзя применить правило нечётности, и сравните ∫f с ∫(−x).

Ответы и обоснования

1. A=0: f нечётна, отрезок симметричен. B=[3x²/2] от 0 до 2 = 6. Следовательно, A<B. Само равенство нулю не зависит от коэффициента 3.
2. A=0. На отрицательной полуоси −2x³ положительна, поэтому B>0; B=[−x⁴/2] от −1 до 0 = 1/2. Значит A<B.
3. Оба интеграла равны 0, поскольку x⁵−x — нечётная функция. Хотя на полуосях знак меняется, на симметричных отрезках вклады противоположных точек сокращаются.
4. Первый равен 0. Второй равен 12, потому что нечётное x³ даёт 0, а постоянная 2 на отрезке длиной 6 даёт 12. Первый интеграл меньше.
5. Первый интеграл равен 0, второй −4. Первый больше второго: константа −1 добавляет −4.
6. Первый интеграл равен 0. Второй равен 2·∫ от 0 до 2 x³dx = 2·(2⁴/4)=8. Модуль меняет знак отрицательной части графика.
7. Левая часть 0, правая 4. При переходе к половине отрезка нужно учесть вклад отрицательной половины, который для нечётной функции противоположен положительному.
8. Нет. Сумма f(x)+f(−x) является чётной, не обязательно нулевой. При f(x)=1 интеграл равен 4a для a>0. Нулём обладает интеграл f(x)−f(−x), поскольку эта разность нечётна.
9. A=B=0. Каждое подынтегральное выражение состоит только из нечётных степеней и является нечётной функцией.
10. A=8, B=−2, значит A−B=10. Нечётные слагаемые интегрируются в ноль, а постоянные дают длина отрезка × значение.
11. B=[x⁴/4−2x²] от 0 до 3 = 81/4−18 = 9/4>0. Нечётность даёт A=−9/4. Поэтому A<0 и A<B. Ошибка — судить о знаке интеграла по знаку функции в одной точке.
12. f не нечётна из-за x². ∫ от −2 до 2 f = ∫ x² = 16/3; ∫(−x)=0. Первый больше. Условие симметрии интервала без нечётности функции недостаточно.

Последняя проверка перед сдачей: нужно назвать интервал, выписать свойство f(−x)=−f(x), указать существование интеграла и только после этого сокращать вычисления. В заданиях с половинным отрезком или модулем прежде всего разберите знак подынтегрального выражения: формула нулевого интеграла на [−a,a] здесь автоматически не работает.

Для самостоятельного объяснения соседу выберите задачи 6 и 8. Одна иллюстрирует, почему модуль уничтожает компенсацию, вторая — почему сумма f(x)+f(−x) не является нечётной функцией. Контрпример должен опровергать заявленное утверждение численно, а не только словами «это не всегда верно».

Подробная памятка: как сравнивать, а не просто вычислять

Шаг 1. Уточните, какие именно два интеграла стоят в условии. Бывает, что подынтегральные функции разные, а интервалы одинаковые; бывает, что функции одинаковые, но пределы отличаются. Эти случаи требуют различных рассуждений. Для функции f(x)=x³ интеграл на [−2,2] равен нулю, но на [0,2] равен 4. Поэтому ошибкой будет перенести свойство симметричного интервала на половину оси. В ответе нужно явно записать, к какой паре границ относится нулевой результат.

Шаг 2. Проверьте нечётность без догадки по рисунку. Подставьте вместо x число −x и раскройте скобки. Например, для f(x)=2x⁵−3x получаем f(−x)=−2x⁵+3x=−f(x), поэтому функция нечётна. Но g(x)=2x⁵−3x+1 не является нечётной: g(−x)=−2x⁵+3x+1, что отличается от −g(x) именно свободным членом. Если свободный член c не равен нулю, интеграл от −a до a равен 2ac, поскольку нечётные слагаемые сократятся.

Шаг 3. Сравнивайте числа, полученные после законного преобразования. Если один интеграл равен 0, а второй равен −5, то первый больше. Если второй равен +5, то первый меньше. Нельзя вместо знака сравнения значений подставлять сравнение площадей: интеграл измеряет ориентированную сумму вкладов. Две большие области над и под осью могут полностью сократиться, тогда как меньшая положительная область даёт положительное число.

Шаг 4. Если всё же нужна первообразная, проверьте её дифференцированием. Для f(x)=x³−4x подходит F(x)=x⁴/4−2x², потому что F′(x)=x³−4x. На симметричном отрезке значения чётной первообразной F в точках a и −a совпадают. Это ещё один способ доказать нулевой интеграл нечётного многочлена. Но этот способ не заменяет проверки, существует ли интеграл: например, формальное выражение 1/x на отрезке через нуль требует отдельного анализа.

Разбираем неправильные ответы ученика

Ошибка «оба графика похожи, значит интегралы равны» логически несостоятельна: интегралы могут совпасть у очень разных графиков. Обратное также неверно: близкие на вид функции могут иметь разные интегралы. Проверка должна опираться на алгебру или свойство симметрии, а не на визуальную оценку. Если функции f и g обе нечётные и интегрируемы на [−a,a], их интегралы действительно равны нулю, но это равенство возникает из общего свойства, а не из совпадения самих функций.

Ошибка «для нечётной функции всё ниже нуля слева и выше нуля справа» тоже неверна. Нечётность устанавливает лишь противоположность значений f(−x) и f(x). На правой половине функция вполне может чередовать положительные и отрицательные участки. Поэтому в некоторых задачах вычисление интеграла на [0,a] необходимо, тогда как на [−a,a] можно сразу использовать симметрию. Это позволяет выбирать короткий метод осмысленно, а не механически.

Для повторения доказательства самостоятельно произнесите две фразы: «Слева и справа интегрируются значения с противоположными знаками» и «Интервалы имеют одинаковую длину и являются зеркальными отражениями». Если одна из этих предпосылок не выполнена, нулевой результат не гарантирован. Так объяснение становится доказательством, пригодным для проверки, а не случайным наблюдением на конкретном рисунке.

В заданиях для самостоятельного обоснования используйте точный язык: «нечётна на симметричном отрезке», «интеграл существует», «слагаемое является константой». Недостаточно написать «график симметричный»: график чётной функции тоже симметричен, но относительно другой оси, и его интеграл не обязан быть нулевым. Для нечётной функции график симметричен относительно начала координат; именно такая симметрия даёт взаимное уничтожение ориентированных вкладов. Условие нужно доказать подстановкой −x, а не догадкой по рисунку.

Запишите итоговое сравнение математическим знаком и укажите, на какой именно границе симметрия перестаёт выполняться, если отрезки у двух интегралов различаются.