Сравнение двух интегралов при разбиении отрезка на участки — мини-практикум с ответами, 11 класс

Математика • 11 класс • MATH-1910

Цель карточки: сравнивать интегралы при разбиении отрезка, проверяя аддитивность и знаки частных вкладов.

Исходные данные: четыре графика на общем наборе отрезков

Пусть каждый график задан так, что его ориентированные вклады по четырём последовательным частям равны величинам в таблице. Это не обязательно площади в геометрическом смысле: отрицательное число соответствует преобладающему участку ниже Ox. Достаточно этих значений, чтобы сравнивать интегралы на объединённых промежутках; сам вид кривой не нужен.

Правило: ∫ от a до c f = ∫ от a до b f + ∫ от b до c f. Оно верно и при отрицательных частных интегралах. Для любой перестановки границ ∫ от c до a f = −∫ от a до c f. Не заменяйте эти суммы модулями: модули нужны для геометрической площади, а здесь сравниваются значения интегралов.

Как проверить таблицу и не потерять знак

Для графика A интеграл от 0 до 6 равен 3−2+5=6, а от 2 до 8 равен −2+5−1=2; первая величина больше. Для графика B интеграл от 0 до 8 равен −4+6−3+2=1. Это проверка аддитивности, а не требование, чтобы график был всюду выше оси.

Шестнадцать заданий на сравнение

1. Для графика A сравните ∫ от 0 до 6 f(x)dx и ∫ от 0 до 5 f(x)dx.
2. Для графика A сравните ∫ от 2 до 8 f(x)dx и ∫ от 0 до 8 f(x)dx.
3. Для графика B сравните ∫ от 0 до 5 f(x)dx и ∫ от 5 до 8 f(x)dx.
4. Для графика B сравните ∫ от 0 до 8 f(x)dx и ∫ от 2 до 6 f(x)dx.
5. Для графика C сравните ∫ от 0 до 6 f(x)dx и ∫ от 2 до 8 f(x)dx.
6. Для графика C сравните ∫ от 0 до 8 f(x)dx и ∫ от 0 до 5 f(x)dx.
7. Для графика D сравните ∫ от 2 до 8 f(x)dx и ∫ от 0 до 5 f(x)dx.
8. Для графика D сравните ∫ от 0 до 6 f(x)dx и ∫ от 5 до 8 f(x)dx.
9. Для графика A сравните ∫ от 5 до 8 f(x)dx и ∫ от 2 до 8 f(x)dx.
10. Для графика B сравните ∫ от 6 до 8 f(x)dx и ∫ от 0 до 2 f(x)dx.
11. Для графика C сравните ∫ от 2 до 6 f(x)dx и ∫ от 0 до 8 f(x)dx.
12. Для графика D сравните ∫ от 0 до 8 f(x)dx и ∫ от 0 до 6 f(x)dx.
13. Для графика B сравните ∫ от 5 до 0 f(x)dx и ∫ от 0 до 5 f(x)dx.
14. Для графика C сравните ∫ от 8 до 5 f(x)dx и ∫ от 5 до 8 f(x)dx.
15. Для графика D сравните ∫ от 6 до 2 f(x)dx и ∫ от 2 до 6 f(x)dx.
16. Для графика A сравните ∫ от 8 до 0 f(x)dx и ∫ от 0 до 8 f(x)dx.

Ключ и проверка вычислений

1. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл 6, второй 1. Значит 6 > 1. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
2. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл 2, второй 5. Значит 2 < 5. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
3. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл 2, второй -1. Значит 2 > -1. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
4. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл 1, второй 3. Значит 1 < 3. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
5. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл -2, второй 0. Значит -2 < 0. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
6. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл 2, второй 4. Значит 2 < 4. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
7. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл -1, второй -1. Значит -1 = -1. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
8. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл 3, второй -1. Значит 3 > -1. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
9. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл 4, второй 2. Значит 4 > 2. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
10. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл 2, второй -4. Значит 2 > -4. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
11. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл -4, второй 2. Значит -4 < 2. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
12. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл -2, второй 3. Значит -2 < 3. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
13. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл -2, второй 2. Значит -2 < 2. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
14. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл 2, второй -2. Значит 2 > -2. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
15. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл -4, второй 4. Значит -4 < 4. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.
16. По таблице суммы ориентированных вкладов: первый интеграл -5, второй 5. Значит -5 < 5. При обратном порядке пределов сумма меняет знак.

Найдите логическое противоречие

Утверждение «если два первых промежутка дают +3 и −2, то интеграл на их объединении равен 5» неверно: на объединении получаем +1. Ошибка в сложении модулей вместо ориентированных значений. Другое неверное утверждение: «смена верхнего и нижнего пределов сохраняет интеграл для любого графика». Это верно лишь численно в особом случае нулевого интеграла.

Контрольная самостоятельная проверка: для каждого набора A–D сложите все четыре значения, затем вычислите ту же сумму двумя путями: (первые две части)+(последние две части) и (первые три части)+(последняя часть). Ответы должны совпасть. Так проявляется ассоциативность сложения и аддитивность интеграла по соседним промежуткам.

Разложение по произвольной промежуточной точке

В формуле аддитивности точка b может лежать внутри промежутка [a,c], но сами числовые вклады могут быть отрицательными. Например, для строки C из таблицы сначала складываем значения на [0,2] и [2,5]: 2+2=4. На [5,6] вклад −6, поэтому ∫ от 0 до 6 равен −2. Добавляя участок [6,8] со значением +4, получаем интеграл от 0 до 8, равный +2. Пропуск отрицательного слагаемого приведёт к неверному ответу +8; это уже не проверка определённого интеграла, а ошибочное сложение модулей.

В строке D участок [2,5] даёт нуль. Это не означает, что на нём график обязательно совпадает с осью Ox: нулевой ориентированный вклад может возникнуть из компенсации положительных и отрицательных частей. Для сравнения интегралов в задании достаточно числа 0, без сведений о деталях графика. Но если попросить геометрическую площадь, таблицы ориентированных вкладов уже недостаточно. Так определяется граница задачи: наши условия позволяют сравнивать интегралы, а не вычислять всю площадь между графиком и осью.