Сравнение двух квадратичных графиков по известным нулям функции: самостоятельная работа, 9 класс

Алгебра · 9 класс · MATH-1611

Сравните два эскиза арок с одинаковыми точками крепления на уровне земли, но разной высотой. Нули функции задают концы пролёта, а коэффициент определяет форму внутри пролёта. Важно сравнивать графики на одной и той же абсциссе.

Исходная ситуация и таблица проектных данных

Кружок проектирует условные арочные конструкции. Вертикальная координата y показывает высоту арки в метрах, горизонтальная x — расстояние по чертежу в метрах. Оба контура в каждой модели имеют общий пролёт [p; q] и формулы y_A = a(x − p)(x − q) и y_B = b(x − p)(x − q), где a, b < 0; вне пролёта модель не применяется. Числа условные, рассчитаны для математических упражнений.

При p < x < q произведение (x − p)(x − q) отрицательно. Поэтому коэффициенты a, b отрицательны и высоты получаются положительными. Середина пролёта m = (p + q)/2 соответствует вершинам обеих парабол.

12 связанных заданий по исходным данным

1. 1. Модель I. Найдите координаты обеих точек крепления и ось симметрии по общим нулям.
2. 2. Модель I. Вычислите высоты обеих арок при x = 2; какая выше и на сколько метров?
3. 3. Модель I. Сравните максимальные высоты двух арок и назовите абсциссу вершины.
4. 4. Модель I. Найдите все точки пересечения двух контуров на допустимом пролёте и объясните, почему других пересечений нет.
5. 5. Модель II. Найдите координаты обеих точек крепления и ось симметрии по общим нулям.
6. 6. Модель II. Вычислите высоты обеих арок при x = 3; какая выше и на сколько метров?
7. 7. Модель II. Сравните максимальные высоты двух арок и назовите абсциссу вершины.
8. 8. Модель II. Найдите все точки пересечения двух контуров на допустимом пролёте и объясните, почему других пересечений нет.
9. 9. Модель III. Найдите координаты обеих точек крепления и ось симметрии по общим нулям.
10. 10. Модель III. Вычислите высоты обеих арок при x = 4; какая выше и на сколько метров?
11. 11. Модель III. Сравните максимальные высоты двух арок и назовите абсциссу вершины.
12. 12. Модель III. Найдите все точки пересечения двух контуров на допустимом пролёте и объясните, почему других пересечений нет.

Проверка расчётов и решения

1. 1. Оба контура обращаются в ноль при x = 0 и x = 8; ось x = (0 + 8)/2 = 4.
2. 2. Произведение (2 − 0)(2 − 8) = -12. Высоты A = 12 м, B = 24 м. B выше на 12 м.
3. 3. При x = 4 высота A = 16 м, высота B = 32 м. Максимум B больше на 16 м. Вершины лежат на одной вертикали.
4. 4. A = B означает (-1 − (-2))(x − 0)(x − 8) = 0. Коэффициенты различаются, поэтому x = 0 или x = 8; точки (0; 0) и (8; 0). Между опорами пересечений нет.
5. 5. Оба контура обращаются в ноль при x = 1 и x = 7; ось x = (1 + 7)/2 = 4.
6. 6. Произведение (3 − 1)(3 − 7) = -8. Высоты A = 8 м, B = 4 м. A выше на 4 м.
7. 7. При x = 4 высота A = 9 м, высота B = 9/2 м. Максимум A больше на 9/2 м. Вершины лежат на одной вертикали.
8. 8. A = B означает (-1 − (-1/2))(x − 1)(x − 7) = 0. Коэффициенты различаются, поэтому x = 1 или x = 7; точки (1; 0) и (7; 0). Между опорами пересечений нет.
9. 9. Оба контура обращаются в ноль при x = 2 и x = 10; ось x = (2 + 10)/2 = 6.
10. 10. Произведение (4 − 2)(4 − 10) = -12. Высоты A = 9 м, B = 12 м. B выше на 3 м.
11. 11. При x = 6 высота A = 12 м, высота B = 16 м. Максимум B больше на 4 м. Вершины лежат на одной вертикали.
12. 12. A = B означает (-3/4 − (-1))(x − 2)(x − 10) = 0. Коэффициенты различаются, поэтому x = 2 или x = 10; точки (2; 0) и (10; 0). Между опорами пересечений нет.

Почему формула по одним нулям не определена

Нули определяют ось симметрии и точки пересечения с Ox, но не дают коэффициент a. При одних и тех же p и q существуют бесконечно многие параболы y = a(x − p)(x − q) с различными ненулевыми a. Чтобы определить конкретный график, нужна ещё одна точка вне нулей либо другое числовое условие.

Если бы a и b совпали, графики были бы тождественными: тогда общих точек бесконечно много, а не две. В наших трёх проектах a ≠ b, поэтому пересечения только на опорах. Ещё одна важная проверка: для арки отрицательный коэффициент даёт положительную высоту только внутри промежутка между нулями; результат за его границами не является высотой реальной конструкции.

Критерий: ученику достаточно решить по одному вопросу каждого типа для любой модели, а затем заполнить остальные. Учитель может попросить обосновать, почему средняя точка пролёта — место наибольшей высоты, без рисования графика.

Карточка MATH-1611. Все задачи и решения находятся на этой странице; для печати используйте стандартную печать браузера.