Сравнение двух квадратичных графиков при отражении ветвей вниз — рабочий лист для 9 класса

Алгебра · 9 класс · MATH-1610

Углублённый рабочий лист из трёх уровней: научитесь отражать параболу относительно горизонтальной прямой, находить вершины и нули отражённых графиков, а также объяснять, когда ветви действительно направлены вниз.

Памятка: ось отражения имеет значение

Если исходная парабола f(x) = a(x − h)² + k, a > 0, то отражение относительно прямой y = k, проходящей через вершину, даёт g(x) = −a(x − h)² + k. Вершина (h; k) остаётся на месте, ветви направляются вниз, и максимум становится равным k.

Если отражают относительно оси Ox (прямая y = 0), получаем g(x) = −f(x) = −a(x − h)² − k. Здесь вершина (h; −k) меняет высоту. Совпадение двух преобразований возможно только при k = 0. Поэтому всегда читайте, относительно какой горизонтальной прямой выполняется отражение.

Пример для проверки: f(x) = 2(x − 3)² + 5. Отражение относительно y = 5 даёт g(x) = −2(x − 3)² + 5 и вершину (3; 5); отражение относительно Ox дало бы −2(x − 3)² − 5 и вершину (3; −5).

Уровень I — отражение относительно прямой через вершину (8 заданий)

1. 1. f(x) = (x − 2)² + 3. Отразите график относительно y = 3. Найдите новую формулу и максимум.
2. 2. f(x) = 2(x + 1)² + 4. Отразите график относительно y = 4. Найдите новую формулу и максимум.
3. 3. f(x) = 3(x)² − 2. Отразите график относительно y = −2. Найдите новую формулу и максимум.
4. 4. f(x) = (x − 5)². Отразите график относительно y = 0. Найдите новую формулу и максимум.
5. 5. f(x) = 2(x − 3)² − 1. Отразите график относительно y = −1. Найдите новую формулу и максимум.
6. 6. f(x) = 4(x + 2)² + 1. Отразите график относительно y = 1. Найдите новую формулу и максимум.
7. 7. f(x) = (x)² + 6. Отразите график относительно y = 6. Найдите новую формулу и максимум.
8. 8. f(x) = 3(x − 2)². Отразите график относительно y = 0. Найдите новую формулу и максимум.

Уровень II — отражение относительно оси Ox (8 заданий)

1. 9. f(x) = (x − 1)² + 4. Отразите относительно Ox. Укажите координаты вершины и сравните значение отражённой функции в x = 2 с исходным.
2. 10. f(x) = 2(x + 2)² + 3. Отразите относительно Ox. Укажите координаты вершины и сравните значение отражённой функции в x = −1 с исходным.
3. 11. f(x) = (x − 3)² − 5. Отразите относительно Ox. Укажите координаты вершины и сравните значение отражённой функции в x = 4 с исходным.
4. 12. f(x) = 3(x)² + 2. Отразите относительно Ox. Укажите координаты вершины и сравните значение отражённой функции в x = 1 с исходным.
5. 13. f(x) = 2(x − 4)² − 1. Отразите относительно Ox. Укажите координаты вершины и сравните значение отражённой функции в x = 5 с исходным.
6. 14. f(x) = (x + 3)² + 6. Отразите относительно Ox. Укажите координаты вершины и сравните значение отражённой функции в x = −2 с исходным.
7. 15. f(x) = 4(x − 2)². Отразите относительно Ox. Укажите координаты вершины и сравните значение отражённой функции в x = 3 с исходным.
8. 16. f(x) = 3(x + 1)² − 2. Отразите относительно Ox. Укажите координаты вершины и сравните значение отражённой функции в x = 0 с исходным.

Уровень III — нули, интервалы и проверка сравнения (8 заданий)

В каждом задании вершина отражённой вниз параболы лежит выше оси Ox. Найдите нули, промежуток положительности и сравните обе параболы в точке x = h + t. Пишите ответы с пояснением, а не только пару корней.

1. 17. f(x) = (x)² + 9. Отразите её относительно y = 9; найдите нули новой функции, где g(x) > 0, сравните f и g при x = 2.
2. 18. f(x) = 2(x − 1)² + 8. Отразите её относительно y = 8; найдите нули новой функции, где g(x) > 0, сравните f и g при x = 4.
3. 19. f(x) = (x + 2)² + 16. Отразите её относительно y = 16; найдите нули новой функции, где g(x) > 0, сравните f и g при x = −1.
4. 20. f(x) = 3(x − 2)² + 27. Отразите её относительно y = 27; найдите нули новой функции, где g(x) > 0, сравните f и g при x = 6.
5. 21. f(x) = 2(x + 1)² + 32. Отразите её относительно y = 32; найдите нули новой функции, где g(x) > 0, сравните f и g при x = 2.
6. 22. f(x) = (x − 3)² + 4. Отразите её относительно y = 4; найдите нули новой функции, где g(x) > 0, сравните f и g при x = 8.
7. 23. f(x) = 4(x + 3)² + 4. Отразите её относительно y = 4; найдите нули новой функции, где g(x) > 0, сравните f и g при x = −1.
8. 24. f(x) = 3(x)² + 12. Отразите её относительно y = 12; найдите нули новой функции, где g(x) > 0, сравните f и g при x = 1.

Ключ и подробная проверка

Проверка отражения относительно прямой через вершину: f(x) + g(x) = 2k. Проверка отражения относительно Ox: f(x) + g(x) = 0. Эти равенства верны при любой абсциссе, а не только для нарисованных точек.

Ключ к уровню I

1. 1. y = −(x − 2)² + 3; вершина (2; 3), максимум 3. Для любого x среднее значений исходного и отражённого графиков равно 3.
2. 2. y = −2(x + 1)² + 4; вершина (−1; 4), максимум 4. Для любого x среднее значений исходного и отражённого графиков равно 4.
3. 3. y = −3(x)² − 2; вершина (0; −2), максимум −2. Для любого x среднее значений исходного и отражённого графиков равно −2.
4. 4. y = −(x − 5)²; вершина (5; 0), максимум 0. Для любого x среднее значений исходного и отражённого графиков равно 0.
5. 5. y = −2(x − 3)² − 1; вершина (3; −1), максимум −1. Для любого x среднее значений исходного и отражённого графиков равно −1.
6. 6. y = −4(x + 2)² + 1; вершина (−2; 1), максимум 1. Для любого x среднее значений исходного и отражённого графиков равно 1.
7. 7. y = −(x)² + 6; вершина (0; 6), максимум 6. Для любого x среднее значений исходного и отражённого графиков равно 6.
8. 8. y = −3(x − 2)²; вершина (2; 0), максимум 0. Для любого x среднее значений исходного и отражённого графиков равно 0.

Ключ к уровню II

1. 9. g(x) = −(x − 1)² − 4; вершина (1; −4). При x = 2: f = 5, g = −5; сумма равна 0.
2. 10. g(x) = −2(x + 2)² − 3; вершина (−2; −3). При x = −1: f = 5, g = −5; сумма равна 0.
3. 11. g(x) = −(x − 3)² + 5; вершина (3; 5). При x = 4: f = −4, g = 4; сумма равна 0.
4. 12. g(x) = −3(x)² − 2; вершина (0; −2). При x = 1: f = 5, g = −5; сумма равна 0.
5. 13. g(x) = −2(x − 4)² + 1; вершина (4; 1). При x = 5: f = 1, g = −1; сумма равна 0.
6. 14. g(x) = −(x + 3)² − 6; вершина (−3; −6). При x = −2: f = 7, g = −7; сумма равна 0.
7. 15. g(x) = −4(x − 2)²; вершина (2; 0). При x = 3: f = 4, g = −4; сумма равна 0.
8. 16. g(x) = −3(x + 1)² + 2; вершина (−1; 2). При x = 0: f = 1, g = −1; сумма равна 0.

Ключ к уровню III

1. 17. y = −(x)² + 9. Уравнение −1(x − (0))² + 9 = 0 даёт (x − (0))² = 9, поэтому x = −3 и x = 3. g(x) > 0 между этими корнями. В точке x = 2: f = 13, g = 5; исходный график выше.
2. 18. y = −2(x − 1)² + 8. Уравнение −2(x − (1))² + 8 = 0 даёт (x − (1))² = 4, поэтому x = −1 и x = 3. g(x) > 0 между этими корнями. В точке x = 4: f = 26, g = −10; исходный график выше.
3. 19. y = −(x + 2)² + 16. Уравнение −1(x − (−2))² + 16 = 0 даёт (x − (−2))² = 16, поэтому x = −6 и x = 2. g(x) > 0 между этими корнями. В точке x = −1: f = 17, g = 15; исходный график выше.
4. 20. y = −3(x − 2)² + 27. Уравнение −3(x − (2))² + 27 = 0 даёт (x − (2))² = 9, поэтому x = −1 и x = 5. g(x) > 0 между этими корнями. В точке x = 6: f = 75, g = −21; исходный график выше.
5. 21. y = −2(x + 1)² + 32. Уравнение −2(x − (−1))² + 32 = 0 даёт (x − (−1))² = 16, поэтому x = −5 и x = 3. g(x) > 0 между этими корнями. В точке x = 2: f = 50, g = 14; исходный график выше.
6. 22. y = −(x − 3)² + 4. Уравнение −1(x − (3))² + 4 = 0 даёт (x − (3))² = 4, поэтому x = 1 и x = 5. g(x) > 0 между этими корнями. В точке x = 8: f = 29, g = −21; исходный график выше.
7. 23. y = −4(x + 3)² + 4. Уравнение −4(x − (−3))² + 4 = 0 даёт (x − (−3))² = 1, поэтому x = −4 и x = −2. g(x) > 0 между этими корнями. В точке x = −1: f = 20, g = −12; исходный график выше.
8. 24. y = −3(x)² + 12. Уравнение −3(x − (0))² + 12 = 0 даёт (x − (0))² = 4, поэтому x = −2 и x = 2. g(x) > 0 между этими корнями. В точке x = 1: f = 15, g = 9; исходный график выше.

Дополнительные рассуждения

У параболы с отрицательным старшим коэффициентом вершина — точка максимума. Равные расстояния от оси симметрии дают равные ординаты. Именно поэтому нули функции вида y = −a(x − h)² + k при k > 0 находятся симметрично относительно h.

Осторожно с отрицательным k: для параболы, направленной вниз, вершина с k < 0 лежит ниже оси Ox; пересечений с этой осью не будет. В третьем уровне k выбрано положительным, чтобы оба корня существовали. Если один из ответов не соответствует исходной формуле, проверьте прежде всего знак перед квадратом.

Оценка: по 2 балла за задания уровней I–II и по 3 балла за задания уровня III. Необходимо объяснять неравенство g(x) > 0 через положение параболы между корнями, а не запоминать знак без проверки.

Карточка MATH-1610. Все задачи и решения находятся на этой странице; для печати используйте стандартную печать браузера.