Сравнение двух квадратичных графиков при сдвиге вдоль оси абсцисс — мини-практикум с ответами, 9 класс

Алгебра · 9 класс · MATH-1609

Отличаем настоящий горизонтальный сдвиг параболы от изменения её формы. Цель: предсказать, куда перемещаются вершина и нули, и объяснить ошибку в знаке внутри скобок.

Неверное решение — найдите ошибку

Ученик написал: «Для переноса y = (x − 2)² + 1 вправо на 3 нужно заменить x на x + 3, поэтому получится y = (x + 1)² + 1». Это неверно. При сдвиге вправо на d используется замена x на x − d: исходная вершина (2; 1) перейдёт в (5; 1), а формула станет y = (x − 5)² + 1. При сдвиге влево на d наоборот применяют x + d.

Диагностика: пять ошибок

1. График y = x² сдвигают на 4 вправо; записано y = (x + 4)². Исправьте формулу и укажите новое положение вершины.
2. График y = 2(x − 1)² − 3 сдвигают на 2 влево; записано y = 2(x − 3)² − 3. Исправьте формулу и укажите новое положение вершины.
3. График y = −(x + 2)² + 4 сдвигают на 5 вправо; записано y = −(x + 7)² + 4. Исправьте формулу и укажите новое положение вершины.
4. После сдвига y = 3x² вправо на 1 записано y = 3x² − 1. Исправьте формулу и укажите новое положение вершины.
5. График y = (x − 4)² + 2 сдвигают влево на 4; записано y = (x − 4)² − 2. Исправьте формулу и укажите новое положение вершины.

Десять упражнений для закрепления

1. 6. Исходная функция: y = (x)². Сдвиг по Ox на 3 вправо. Запишите новую функцию, обе вершины, сравните направление ветвей.
2. 7. Исходная функция: y = 2(x − 1)² − 2. Сдвиг по Ox на 3 влево. Запишите новую функцию, обе вершины, сравните направление ветвей.
3. 8. Исходная функция: y = −(x + 2)² + 4. Сдвиг по Ox на 2 вправо. Запишите новую функцию, обе вершины, сравните направление ветвей.
4. 9. Исходная функция: y = 3(x − 4)². Сдвиг по Ox на 2 влево. Запишите новую функцию, обе вершины, сравните направление ветвей.
5. 10. Исходная функция: y = −2(x)² + 5. Сдвиг по Ox на 1 вправо. Запишите новую функцию, обе вершины, сравните направление ветвей.
6. 11. Исходная функция: y = (x + 3)² − 1. Сдвиг по Ox на 4 вправо. Запишите новую функцию, обе вершины, сравните направление ветвей.
7. 12. Исходная функция: y = 2(x − 2)² + 3. Сдвиг по Ox на 4 влево. Запишите новую функцию, обе вершины, сравните направление ветвей.
8. 13. Исходная функция: y = −(x − 1)². Сдвиг по Ox на 5 вправо. Запишите новую функцию, обе вершины, сравните направление ветвей.
9. 14. Исходная функция: y = 3(x + 1)² + 2. Сдвиг по Ox на 1 влево. Запишите новую функцию, обе вершины, сравните направление ветвей.
10. 15. Исходная функция: y = (x − 5)² − 3. Сдвиг по Ox на 6 влево. Запишите новую функцию, обе вершины, сравните направление ветвей.

Ключ с исправлениями

Ошибки 1–5

1. 1. y = (x − 4)². Вершина должна быть (4; 0), а не (−4; 0).
2. 2. y = 2(x + 1)² − 3. Вершина смещается от x = 1 к x = −1.
3. 3. y = −(x − 3)² + 4. Новая ось симметрии x = −2 + 5 = 3.
4. 4. y = 3(x − 1)². Вычитание 1 за квадратом сдвигает график вниз, а не вправо.
5. 5. y = x² + 2. Вершина переходит из (4; 2) в (0; 2); высота вершины сохраняется.

Упражнения 6–15

1. 6. h: 0 → 3; k = 0 и a = 1 не меняются. Новая формула: y = (x − 3)². Вершины (0; 0) и (3; 0); обе ветви вверх.
2. 7. h: 1 → −2; k = −2 и a = 2 не меняются. Новая формула: y = 2(x + 2)² − 2. Вершины (1; −2) и (−2; −2); обе ветви вверх.
3. 8. h: −2 → 0; k = 4 и a = −1 не меняются. Новая формула: y = −(x)² + 4. Вершины (−2; 4) и (0; 4); обе ветви вниз.
4. 9. h: 4 → 2; k = 0 и a = 3 не меняются. Новая формула: y = 3(x − 2)². Вершины (4; 0) и (2; 0); обе ветви вверх.
5. 10. h: 0 → 1; k = 5 и a = −2 не меняются. Новая формула: y = −2(x − 1)² + 5. Вершины (0; 5) и (1; 5); обе ветви вниз.
6. 11. h: −3 → 1; k = −1 и a = 1 не меняются. Новая формула: y = (x − 1)² − 1. Вершины (−3; −1) и (1; −1); обе ветви вверх.
7. 12. h: 2 → −2; k = 3 и a = 2 не меняются. Новая формула: y = 2(x + 2)² + 3. Вершины (2; 3) и (−2; 3); обе ветви вверх.
8. 13. h: 1 → 6; k = 0 и a = −1 не меняются. Новая формула: y = −(x − 6)². Вершины (1; 0) и (6; 0); обе ветви вниз.
9. 14. h: −1 → −2; k = 2 и a = 3 не меняются. Новая формула: y = 3(x + 2)² + 2. Вершины (−1; 2) и (−2; 2); обе ветви вверх.
10. 15. h: 5 → −1; k = −3 и a = 1 не меняются. Новая формула: y = (x + 1)² − 3. Вершины (5; −3) и (−1; −3); обе ветви вверх.

Как проверить без рисунка

Подставьте новую абсциссу вершины: значение должно остаться k. Например, для y = 2(x + 1)² − 3 при x = −1 получится −3. Затем возьмите точку исходного графика с абсциссой x и сравните её с точкой нового графика с абсциссой x + d: ординаты обязаны совпасть.

Частые ошибки: забыть перенести ось симметрии; заменить знак перед квадратом вместо сдвига скобки; изменить k при горизонтальном переносе; забыть, что сдвиг по Ox сохраняет расстояния и форму ветвей. Для отличия горизонтального сдвига от вертикального достаточно сравнить координаты вершин.

Карточка MATH-1609. Все задачи и решения находятся на этой странице; для печати используйте стандартную печать браузера.