Сравнение двух маршрутов по пройденной доле пути: самостоятельная работа по математике, 6 класс

Самостоятельная работа о двух маршрутах. Здесь сравниваются именно пройденные доли путей, а не две одинаковые дистанции. Для каждого маршрута записывайте три величины: всю длину (км), пройденную долю от него, пройденное расстояние (км). Большая доля не всегда означает больше километров, если длины маршрутов различны.

Вступительная задача: как сравнить два ответа

Маршрут А имеет длину 18 км, из них пройдено 2/3; маршрут Б — 32 км, из них пройдено 3/8. Кто прошёл большую долю, а кто больше километров? По долям: 2/3 > 3/8, значит относительно своего маршрута дальше продвинулись на А. По километрам: 18·2/3 = 12 км и 32·3/8 = 12 км — абсолютное пройденное расстояние одинаково. Эти два ответа не противоречат друг другу.

Два метода решения и границы их применения

• Метод 1 — общий знаменатель. Сравните доли a и b, например 5/8 и 2/3: 15/24 < 16/24. Это показывает, кто выполнил большую часть собственного маршрута. Длины маршрутов для такого сравнения не нужны.
• Метод 2 — перевод в километры. Если требуется узнать, кто фактически прошёл больше, рассчитайте L_A·a и L_Б·b. Полученные числа обязательно подпишите «км».
• Остаток пути. Не пройденное расстояние = длина маршрута · (1−пройденная доля). Это третья характеристика, её нельзя подменять пройденным расстоянием.
• Проверка смысла. При 0 ≤ a ≤ 1 расстояние L·a не должно превышать L. При a=1 маршрут полностью пройден; a=0 ничего не пройдено.

Задания базового уровня: доля или километры? (1–6)

1. Маршрут А — 24 км, пройдено 3/4; маршрут Б — 30 км, пройдено 2/3. Сравните 1) доли выполнения, 2) пройденные километры, 3) оставшиеся километры.
2. Маршрут А — 35 км, пройдено 3/5; маршрут Б — 28 км, пройдено 3/4. Сравните 1) доли выполнения, 2) пройденные километры, 3) оставшиеся километры.
3. Маршрут А — 48 км, пройдено 5/8; маршрут Б — 45 км, пройдено 2/3. Сравните 1) доли выполнения, 2) пройденные километры, 3) оставшиеся километры.
4. Маршрут А — 54 км, пройдено 2/3; маршрут Б — 63 км, пройдено 4/7. Сравните 1) доли выполнения, 2) пройденные километры, 3) оставшиеся километры.
5. Маршрут А — 40 км, пройдено 7/10; маршрут Б — 36 км, пройдено 3/4. Сравните 1) доли выполнения, 2) пройденные километры, 3) оставшиеся километры.
6. Маршрут А — 42 км, пройдено 5/7; маршрут Б — 50 км, пройдено 3/5. Сравните 1) доли выполнения, 2) пройденные километры, 3) оставшиеся километры.

Повышенный уровень: обратный расчёт и ошибочные выводы (7–13)

7. А: 24 км, пройдено 5/6. Б: 36 км, пройдено 2/3. Какой маршрут ближе к финишу по доле? Кто прошёл больше километров?
8. А: 20 км, пройдено 3/5; Б: 30 км, пройдено 2/5. Сравните абсолютное пройденное расстояние.
9. Маршрут А — 45 км, пройдено 2/3. Маршрут Б — 24 км, пройдено 5/6. Укажите, по какому маршруту осталось меньше км.
10. Маршрут А — 60 км, пройдено 3/4. Маршрут Б — 50 км, пройдено 4/5. Во сколько раз отличаются пройденные км?
11. Маршрут А — 42 км, прошли 30 км; маршрут Б — 56 км, прошли 42 км. Определите доли выполнения и сравните.
12. А: 72 км, пройдено 5/8. Б: 54 км, пройдено 2/3. Кто прошёл меньше километров и на сколько?
13. Найдите длину маршрута Б, если по нему пройдено 3/5 пути, то есть 21 км. Маршрут А имеет длину 40 км, пройдено 1/2. Кто прошёл больше км?

Найдите неверное утверждение (14–17)

14. Ученик: «На А пройдено 7/8 от 16 км, а на Б 3/4 от 24 км. Значит, А прошли дальше, потому что 7/8>3/4». Согласны?
15. «Если на двух маршрутах одинаковая пройденная доля, то и пройденные километры одинаковы». Проверьте при длинах 12 и 30 км и доле 2/3.
16. «На А осталось 1/4 от 40 км, на Б осталось 1/5 от 60 км. На Б осталось меньше, ведь 1/5<1/4». Исправьте.
17. Оба прошли по 15 км: А из 25 км, Б из 40 км. Равны ли их пройденные доли? Укажите их и сравните.

Полный разбор и самопроверка

1. №1. Доли: 3/4 и 2/3, более высокая доля: А. Пройдено 18 и 20 км, больше километров: Б. Осталось 6 и 10 км. Проверка: 18+6=24, 20+10=30 км.
2. №2. Доли: 3/5 и 3/4, более высокая доля: Б. Пройдено 21 и 21 км, больше километров: одинаковы. Осталось 14 и 7 км. Проверка: 21+14=35, 21+7=28 км.
3. №3. Доли: 5/8 и 2/3, более высокая доля: Б. Пройдено 30 и 30 км, больше километров: одинаковы. Осталось 18 и 15 км. Проверка: 30+18=48, 30+15=45 км.
4. №4. Доли: 2/3 и 4/7, более высокая доля: А. Пройдено 36 и 36 км, больше километров: одинаковы. Осталось 18 и 27 км. Проверка: 36+18=54, 36+27=63 км.
5. №5. Доли: 7/10 и 3/4, более высокая доля: Б. Пройдено 28 и 27 км, больше километров: А. Осталось 12 и 9 км. Проверка: 28+12=40, 27+9=36 км.
6. №6. Доли: 5/7 и 3/5, более высокая доля: А. Пройдено 30 и 30 км, больше километров: одинаковы. Осталось 12 и 20 км. Проверка: 30+12=42, 30+20=50 км.
7. №7. По доле ближе к финишу А: 5/6>2/3. В км: А прошёл 20 км, Б — 24 км; Б прошёл на 4 км больше. Остатки 4 и 12 км.
8. №8. А: 20·3/5=12 км, Б: 30·2/5=12 км. Километры одинаковы, хотя доля маршрута А выше.
9. №9. Осталось по А 45·1/3=15 км, по Б 24·1/6=4 км; меньше на Б, разность 11 км.
10. №10. Прошли 45 км и 40 км, отношение 45:40=9/8=1 1/8. По А пройдено в 9/8 раза больше км, хотя доля А меньше.
11. №11. А: 30/42=5/7; Б: 42/56=3/4. Так как 5/7=20/28 < 21/28=3/4, по доле дальше Б; и по км Б прошёл больше на 12 км.
12. №12. А: 72·5/8=45 км, Б: 54·2/3=36 км. Б прошёл на 9 км меньше, но по доле Б дальше (2/3>5/8).
13. №13. Б: 21:3/5=35 км. А: 40·1/2=20 км; Б: 21 км. Б прошёл на 1 км больше и долю 3/5 против 1/2.
14. №14. Нет. По доле А дальше, но в километрах А: 16·7/8=14 км, Б: 24·3/4=18 км; Б прошёл на 4 км больше.
15. №15. Неверно: пройдено 8 км и 20 км. Одинаковая доля означает только одинаковую относительную степень прохождения.
16. №16. По А осталось 10 км, по Б 12 км. Хотя доля оставшегося на Б меньше, абсолютный остаток там на 2 км больше.
17. №17. Доли А: 15/25=3/5, Б: 15/40=3/8. Они не равны; А прошёл большую часть своего пути. Километры равны.

Оценивание: для каждого номера отдельно начислите один балл за верное сравнение долей и один за корректную работу с километрами (если такой расчёт требуется). Проверка остатка или объяснение ошибки добавляет один балл в заданиях 1–6 и 14–17. Если указан только победитель, без основания сравнения, решение неполное.

Главная ловушка самостоятельной работы — сравнение дробей, относящихся к разным целым. Сначала прочитайте, что именно требуется сравнить: долю пути, уже пройденные километры или оставшееся расстояние. Число километров и безразмерная доля — не взаимозаменяемые единицы. Для каждого маршрута сумма пройденного и оставшегося расстояний обязана совпасть с полной длиной.