Сравнение двух наборов измерений при добавлении нового результата — задачи с решениями для 6 класса

Табличный практикум · 6 класс. Как меняются среднее и размах, когда в каждом наборе появляется ещё одно измерение? Важная деталь: после добавления число результатов увеличивается, поэтому прежний делитель использовать нельзя.

Как читать таблицу

До обновления у каждого набора четыре значения. У набора А сумма 36, у Б — 40. После добавления в каждом появится пятый результат. Формула нового среднего: (старая сумма + новое число) : 5. Размах нужно вычислить заново по всем пяти наблюдениям: новый результат способен стать минимумом или максимумом, а может оказаться внутри прежнего интервала и не изменить размах.

Проверьте исходные данные

1. Найдите сумму и среднее четырёх исходных измерений А.
2. Найдите сумму и среднее четырёх исходных измерений Б.
3. Сравните исходные размахи А и Б.
4. Новый результат для А равен 14. Какова новая сумма?
5. Чему теперь равно среднее для А?

Вычислите новые показатели

6. Как изменился размах А после добавления 14?
7. Новый результат для Б равен 5. Какова новая сумма?
8. Чему теперь равно среднее для Б?
9. Как изменился размах Б?
10. Кто имел большее среднее до добавления и после?
11. Если к А вместо 14 добавить 9, каким станет среднее?

Заметьте противоречие только на первый взгляд: до появления новых результатов большее среднее было у Б, а после — у А. Для доказательства этого не нужен сложный алгоритм: достаточно аккуратно пересчитать суммы и разделить на пять. Перемена порядка не означает ошибку данных.

Найдите неизвестное и объясните ограничения

12. Если к Б вместо 5 добавить 10, каким станет среднее?
13. Найдите число x, которое нужно добавить к А, чтобы среднее пяти значений стало 11.
14. Найдите число x, которое нужно добавить к Б, чтобы среднее пяти значений стало 11.
15. Какое условие на новый результат x сохраняет размах Б равным 6?
16. Если к А добавить ноль, найдите новое среднее и размах.

Разбор возможного противоречия

Неправильный вывод: «Если добавили одно число, размах обязательно увеличился». Контрпример — добавление результата внутри уже существующих крайних значений. В наборе Б любое число от 7 до 13, включая границы, сохранит его прежний размах 6. При этом среднее обычно изменится, потому что сумма изменится, а число наблюдений увеличится. И наоборот, добавление прежнего среднего сохраняет среднее, но не обязано сохранять размах в произвольном случае — нужно проверить положение нового значения.

Обратная задача позволяет обнаружить пропущенные данные без перебора. Например, если известно, что новое среднее пяти наблюдений должно стать 11, то их общая сумма обязана равняться 55. Из неё надо вычесть старую сумму: для А получится 19, для Б — 15. Затем обязательно проверьте найденное значение подстановкой в исходный ряд: пять чисел действительно дадут сумму 55. Этот способ работает при любом положительном количестве уже имеющихся наблюдений.

Не стоит путать изменение среднего с изменением размаха. Новое число может совпадать с прежним средним, поэтому среднее не сдвинется, но крайние значения уже существующего ряда тоже нужно учитывать. Напротив, новое число может лежать внутри первоначального интервала: тогда размах останется прежним, хотя среднее, как правило, поменяется. На практике полезно сразу записывать два независимых столбца проверки: «сумма и количество» и «минимум и максимум».

В таблице все измерения рассматриваются как отдельные равноправные результаты. Поэтому для среднего используется обычное деление суммы на количество наблюдений, а не среднее двух показателей из разных наборов. После обновления у А пять результатов и у Б тоже пять; здесь их можно сопоставлять напрямую. Если бы число результатов различалось, объединённое среднее нужно было бы считать по общей сумме и общему количеству, а не простым полусуммированием двух средних.

Полный ключ учителя

1. 6+8+10+12=36; среднее 36:4=9.
2. 7+9+11+13=40; среднее 40:4=10.
3. Оба размаха равны 6: у А 12−6, у Б 13−7.
4. 36+14=50.
5. 50:5=10; наблюдений стало пять.
6. Раньше 6, теперь 14−6=8; увеличился на 2.
7. 40+5=45.
8. 45:5=9.
9. 13−5=8 вместо 6; увеличился на 2.
10. До добавления: Б (10 против 9). После: А (10 против 9), порядок поменялся.
11. (36+9):5=9, исходное среднее сохраняется; размах 6.
12. (40+10):5=10, исходное среднее сохраняется; размах 6.
13. Требуемая сумма 5·11=55; x=55−36=19. Размах после добавления станет 19−6=13.
14. x=55−40=15; новый размах 15−7=8.
15. 7≤x≤13: тогда старые минимум 7 и максимум 13 сохраняются. Среднее может измениться.
16. Среднее 36:5=7,2; размах 12−0=12. Ноль допустим для числовых измерений, например количества набранных баллов.

Оформляя решение, обозначайте исходную сумму S и количество n. Тогда после добавления x новое среднее равно (S+x)/(n+1). Эта короткая запись исключает частую ошибку — деление новой суммы на прежнее n. Сначала определите, входит ли добавленное число в старый интервал [минимум; максимум], и только потом вычисляйте новый размах.