Сравнение двух наборов измерений при равных средних и разных размахах — задания с разбором, 6 класс

6 класс · объяснение и доказательство. Исследуем два набора результатов, которые имеют одно и то же среднее арифметическое, но заметно различаются по размаху. Вы научитесь аргументировать сравнение, а не выбирать набор по внешнему впечатлению.

Утверждение, которое нужно проверить

«Два ученика получили одинаковое среднее измерений, значит, их результаты одинаково ровные». Такое заключение выглядит правдоподобным, но оно неверно. Среднее — это сумма, разделённая на количество измерений. Размах — разность между наибольшим и наименьшим результатом. Среднее показывает общий уровень, а размах — расстояние между крайними значениями. Одно число не заменяет другое.

Оба ряда содержат по пять результатов, и сумма каждого ряда составляет 80. Деление на пять даёт одно и то же среднее 16. Но в первом ряду значения лежат между 12 и 20, а во втором — между 4 и 28. Чтобы сравнить изменчивость по размаху, нужно посмотреть именно на крайние значения, а не на сумму. Больше размах — шире интервал значений; это не означает автоматически более высокое среднее или большее количество ошибок.

Почему одинаковые суммы не означают одинаковый размах

Представьте, что в наборе одно измерение увеличилось на 6, а другое уменьшилось на 6. Общая сумма осталась прежней, следовательно, не изменилось и среднее. Однако крайние результаты могли отдалиться друг от друга. Именно это и происходит при переходе от более компактного набора к набору с очень низким и очень высоким результатами. Чтобы доказать изменение размаха, назовите его минимум и максимум.

Прибавление одного и того же числа ко всем наблюдениям сдвигает их шкалу, но не меняет размах. Умножение каждого результата на положительное число увеличивает размах во столько же раз. Если умножать на отрицательное, крайние места меняются, а размах увеличивается в модуль множителя; с этим обобщением можно познакомиться позже.

Доказательные задачи — от определения до контрпримера

1. Вычислите среднее каждого из двух исходных наборов, не полагаясь на их внешнее сходство.
2. Вычислите размах каждого набора и укажите, в каком случае измерения отличаются сильнее по этому показателю.
3. Верно ли: «одинаковое среднее означает одинаковое наибольшее значение»? Опровергните числами.
4. Если ко всем результатам А добавить 5, как изменятся среднее и размах?
5. Если каждое измерение набора Б увеличить вдвое, найдите среднее и размах нового набора.
6. Сравните наборы В (13; 15; 17; 19) и Г (9; 15; 17; 23): найдите средние и размахи.
7. Для наборов (6; 8; 10) и (2; 8; 14) назовите общий средний результат и сравните размахи.

Старайтесь в ответе писать не только число, но и причину. Например: «В среднем оба ряда равны, поскольку суммы совпадают и число наблюдений одинаково; размахи разные, поскольку различаются крайние элементы». Это полное доказательство, а не угадывание по одному показателю.

Сложнее: можно ли восстановить набор по двум показателям?

8. Сравните (2; 4; 6; 8) и (2; 5; 5; 8). Может ли совпадать и среднее, и размах у разных наборов?
9. В наборе (2; 4; 6; 8) число 4 заменили на 6. Сравните средние до и после, затем размахи.
10. Можно ли получить размах ноль при среднем 7? Сравните (7; 7; 7; 7) и (1; 5; 9; 13).
11. В наборе 11; 15; □; 21 среднее 16. Найдите пропуск и сравните размах с набором (3; 16; 17; 28).
12. Сравните наборы с отрицательным значением (−6; 2; 10) и (0; 2; 4). Одинаковы ли средние и размахи?
13. У набора из четырёх измерений среднее 10 и размах 0. Что можно сказать обо всех четырёх числах?

Представьте две группы измерений одной и той же длины: в первом ряду результаты сгруппированы вокруг среднего, во втором встречаются меньшие и большие значения. При расчёте суммы эти отклонения могут компенсировать друг друга. Поэтому одинаковое среднее не гарантирует ни одинакового максимума, ни одинакового минимума. Ученику полезно сначала выписать сумму, затем разделить на количество, а после — найти только два крайних элемента; это три разных вычислительных действия, и каждое отвечает на свой вопрос.

Особые случаи и ограничения вывода

Размах равен нулю, когда все результаты одинаковы. Значение размаха не бывает отрицательным, поскольку максимум не меньше минимума. Даже равенство и среднего, и размаха ещё не гарантирует совпадения наборов: внутренние измерения могут отличаться. Кроме того, большой размах иногда получается из-за одного необычного результата. Сам по себе размах не объясняет, почему это произошло — нужен контекст измерений.

Если сравниваются разнородные единицы, сначала приведите измерения к одной единице. Нельзя напрямую сопоставлять размах в сантиметрах и метрах, пока величины не переведены. У двух наборов также может быть разное число наблюдений; тогда одинаковое среднее не обязательно означает одинаковую сумму. В нашей исходной таблице число результатов одинаково, и именно поэтому равенство средних связано с равенством сумм.

Ключ с объяснениями

1. А: (12+14+16+18+20)/5 = 16; Б: (4+13+16+19+28)/5 = 16. Средние равны, потому что обе суммы равны 80.
2. А: 20−12=8; Б: 28−4=24. По размаху набор Б более изменчив.
3. Нет: оба средних равны 16, но наибольшие значения 20 и 28. Одного среднего недостаточно, чтобы судить о крайних значениях.
4. Новое среднее 16+5=21; размах остаётся 8, потому что разность (20+5)−(12+5)=8.
5. Среднее 16·2=32, размах 24·2=48. Умножение всех значений на положительное число масштабирует и среднее, и размах.
6. В: сумма 64, среднее 16, размах 19−13=6. Г: сумма 64, среднее 16, размах 23−9=14. Более широкий разброс у Г.
7. Оба средних равны 8. Размахи 10−6=4 и 14−2=12: второй в три раза больше первого.
8. Да: среднее каждого 5, размах каждого 6. При этом внутренние значения различаются. Это контрпример к утверждению об одинаковости наборов.
9. Первое среднее 5, второе (2+6+6+8)/4=5,5. Размах в обоих случаях 8−2=6. Среднее изменилось, а размах нет.
10. Можно: у первого ряда среднее 7 и размах 0; у второго среднее тоже 7, но размах 13−1=12.
11. Сумма должна быть 4·16=64; □=64−11−15−21=17. Размах первого 21−11=10, второго 28−3=25.
12. Оба средних равны 2. Размах первого 10−(−6)=16, второго 4−0=4; знак числа учитывают при вычитании минимума.
13. Каждое равно 10: при размахе 0 минимум равен максимуму, а значит, все значения равны общему среднему.

Выполняя самопроверку, отметьте, где вы использовали сумму и количество измерений, а где только крайние значения. Это помогает не смешивать два разных вопроса: «Каков типичный уровень по среднему?» и «Насколько различаются крайние наблюдения?». При необходимости перепишите один неверный вывод в виде доказательства или контрпримера.