Сравнение двух серий корней для косинуса с отрицательным значением — диагностика ошибок, 10 класс

Разобранный базовый случай

Решаем cos x = −1/2 на отрезке [0; 2π]. Основной угол arccos(−1/2)=2π/3. Первая серия x=2π/3+2πk даёт здесь 2π/3; вторая x=−2π/3+2πk даёт 4π/3 при k=1. В обоих случаях косинус равен −1/2. Только 2π/3 — неполный ответ.

Теперь меняем отрезок на [−π; π]. Та же пара серий даёт −2π/3 и 2π/3. Состав корней изменился, но уравнение — нет. При значении cos x = −1 возникает особый случай: серии π+2πk и −π+2πk на самом деле совпадают. Поэтому сначала получают объединение, а затем удаляют повторы.

Карточка А. Изменённые ограничения для −1/2

В каждом пункте предъявите две отдельные серии на указанном отрезке. Для отрицательных границ не забывайте индексы k<0.

1. № 1. Для cos x = −1/2 на [0; 2π] выпишите отдельно корни серий x=2π/3+2πk и x=−2π/3+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой.
2. № 2. Для cos x = −1/2 на [−π; π] выпишите отдельно корни серий x=2π/3+2πk и x=−2π/3+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой. Отдельно объясните, почему отрицательный угол может стать допустимым корнем.
3. № 3. Для cos x = −1/2 на [π; 3π] выпишите отдельно корни серий x=2π/3+2πk и x=−2π/3+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой. Отметьте, какая из серий даёт первый корень внутри отрезка.
4. № 4. Для cos x = −1/2 на [−2π; 2π] выпишите отдельно корни серий x=2π/3+2πk и x=−2π/3+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой. Укажите, сколько корней приходятся на отрицательную часть отрезка.

Карточка Б. От углов 45° к 135°

Здесь значение равно −√2/2. Если получился π/4, проверьте знак косинуса — в первой четверти он положительный.

5. № 5. Для cos x = −√2/2 на [0; 2π] выпишите отдельно корни серий x=3π/4+2πk и x=−3π/4+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой.
6. № 6. Для cos x = −√2/2 на [−π; π] выпишите отдельно корни серий x=3π/4+2πk и x=−3π/4+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой. Отдельно объясните, почему отрицательный угол может стать допустимым корнем.
7. № 7. Для cos x = −√2/2 на [π; 3π] выпишите отдельно корни серий x=3π/4+2πk и x=−3π/4+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой. Отметьте, какая из серий даёт первый корень внутри отрезка.
8. № 8. Для cos x = −√2/2 на [−2π; 2π] выпишите отдельно корни серий x=3π/4+2πk и x=−3π/4+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой. Укажите, сколько корней приходятся на отрицательную часть отрезка.

Карточка В. Углы около π

Угол 5π/6 расположен во второй четверти, а −5π/6 — в третьей при добавлении полного оборота. Запишите обе ветви, прежде чем ограничивать их отрезком.

9. № 9. Для cos x = −√3/2 на [0; 2π] выпишите отдельно корни серий x=5π/6+2πk и x=−5π/6+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой.
10. № 10. Для cos x = −√3/2 на [−π; π] выпишите отдельно корни серий x=5π/6+2πk и x=−5π/6+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой. Отдельно объясните, почему отрицательный угол может стать допустимым корнем.
11. № 11. Для cos x = −√3/2 на [π; 3π] выпишите отдельно корни серий x=5π/6+2πk и x=−5π/6+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой. Отметьте, какая из серий даёт первый корень внутри отрезка.
12. № 12. Для cos x = −√3/2 на [−2π; 2π] выпишите отдельно корни серий x=5π/6+2πk и x=−5π/6+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой. Укажите, сколько корней приходятся на отрицательную часть отрезка.

Карточка Г. Совпадающие записи решений

Сравните ветви cos x=−1 и найдите причину, по которой на некоторых отрезках получаются повторяющиеся числа. Два способа записать один корень не создают двух разных корней.

13. № 13. Для cos x = −1 на [0; 2π] выпишите отдельно корни серий x=π+2πk и x=−π+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой. Объясните, почему здесь две записи могут повторять одни и те же углы.
14. № 14. Для cos x = −1 на [−π; π] выпишите отдельно корни серий x=π+2πk и x=−π+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой. Отдельно объясните, почему отрицательный угол может стать допустимым корнем. Объясните, почему здесь две записи могут повторять одни и те же углы.
15. № 15. Для cos x = −1 на [π; 3π] выпишите отдельно корни серий x=π+2πk и x=−π+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой. Отметьте, какая из серий даёт первый корень внутри отрезка. Объясните, почему здесь две записи могут повторять одни и те же углы.
16. № 16. Для cos x = −1 на [−2π; 2π] выпишите отдельно корни серий x=π+2πk и x=−π+2πk. Сравните серии, объедините их результаты и проверьте один корень подстановкой. Укажите, сколько корней приходятся на отрицательную часть отрезка. Объясните, почему здесь две записи могут повторять одни и те же углы.

Полный ключ и обратная проверка

1. Ответ 1. Первая серия: 2π/3. Вторая: 4π/3. Объединение: 2π/3, 4π/3 (2 различных корней). Проверка: cos(2π/3) = −1/2. Обе серии нужны: −bπ можно перенести в положительный период, прибавив 2π.
2. Ответ 2. Первая серия: 2π/3. Вторая: −2π/3. Объединение: −2π/3, 2π/3 (2 различных корней). Проверка: cos(−2π/3) = −1/2. Обе серии нужны: −bπ можно перенести в положительный период, прибавив 2π.
3. Ответ 3. Первая серия: 8π/3. Вторая: 4π/3. Объединение: 4π/3, 8π/3 (2 различных корней). Проверка: cos(4π/3) = −1/2. Обе серии нужны: −bπ можно перенести в положительный период, прибавив 2π.
4. Ответ 4. Первая серия: −4π/3, 2π/3. Вторая: −2π/3, 4π/3. Объединение: −4π/3, −2π/3, 2π/3, 4π/3 (4 различных корней). Проверка: cos(−4π/3) = −1/2. Обе серии нужны: −bπ можно перенести в положительный период, прибавив 2π.
5. Ответ 5. Первая серия: 3π/4. Вторая: 5π/4. Объединение: 3π/4, 5π/4 (2 различных корней). Проверка: cos(3π/4) = −√2/2. Обе серии нужны: −bπ можно перенести в положительный период, прибавив 2π.
6. Ответ 6. Первая серия: 3π/4. Вторая: −3π/4. Объединение: −3π/4, 3π/4 (2 различных корней). Проверка: cos(−3π/4) = −√2/2. Обе серии нужны: −bπ можно перенести в положительный период, прибавив 2π.
7. Ответ 7. Первая серия: 11π/4. Вторая: 5π/4. Объединение: 5π/4, 11π/4 (2 различных корней). Проверка: cos(5π/4) = −√2/2. Обе серии нужны: −bπ можно перенести в положительный период, прибавив 2π.
8. Ответ 8. Первая серия: −5π/4, 3π/4. Вторая: −3π/4, 5π/4. Объединение: −5π/4, −3π/4, 3π/4, 5π/4 (4 различных корней). Проверка: cos(−5π/4) = −√2/2. Обе серии нужны: −bπ можно перенести в положительный период, прибавив 2π.
9. Ответ 9. Первая серия: 5π/6. Вторая: 7π/6. Объединение: 5π/6, 7π/6 (2 различных корней). Проверка: cos(5π/6) = −√3/2. Обе серии нужны: −bπ можно перенести в положительный период, прибавив 2π.
10. Ответ 10. Первая серия: 5π/6. Вторая: −5π/6. Объединение: −5π/6, 5π/6 (2 различных корней). Проверка: cos(−5π/6) = −√3/2. Обе серии нужны: −bπ можно перенести в положительный период, прибавив 2π.
11. Ответ 11. Первая серия: 17π/6. Вторая: 7π/6. Объединение: 7π/6, 17π/6 (2 различных корней). Проверка: cos(7π/6) = −√3/2. Обе серии нужны: −bπ можно перенести в положительный период, прибавив 2π.
12. Ответ 12. Первая серия: −7π/6, 5π/6. Вторая: −5π/6, 7π/6. Объединение: −7π/6, −5π/6, 5π/6, 7π/6 (4 различных корней). Проверка: cos(−7π/6) = −√3/2. Обе серии нужны: −bπ можно перенести в положительный период, прибавив 2π.
13. Ответ 13. Первая серия: π. Вторая: π. Объединение: π (1 различных корней). Проверка: cos(π) = −1. При b=1 записи x=π+2πk и x=−π+2πk совпадают после замены индекса k.
14. Ответ 14. Первая серия: −π, π. Вторая: −π, π. Объединение: −π, π (2 различных корней). Проверка: cos(−π) = −1. При b=1 записи x=π+2πk и x=−π+2πk совпадают после замены индекса k.
15. Ответ 15. Первая серия: π, 3π. Вторая: π, 3π. Объединение: π, 3π (2 различных корней). Проверка: cos(π) = −1. При b=1 записи x=π+2πk и x=−π+2πk совпадают после замены индекса k.
16. Ответ 16. Первая серия: −π, π. Вторая: −π, π. Объединение: −π, π (2 различных корней). Проверка: cos(−π) = −1. При b=1 записи x=π+2πk и x=−π+2πk совпадают после замены индекса k.

Как выявить потерю серии

После вычислений проверьте не только допустимые значения k, но и отражение x→−x: cos(−x)=cos x. Если ограничения симметричны относительно нуля, то вместе с ненулевым корнем x входит и −x, если обе точки лежат в отрезке. Однако для несимметричного отрезка отражённый угол может не войти в ответ. Нельзя автоматически добавлять корень за пределами области.

При проверке выставьте по 2 балла за каждый номер: 1 за две корректные серии и 1 за полное объединение с проверкой. Максимум 32. Если ученику трудно, сначала попросите назвать четверти для отрицательного косинуса, затем восстановить правильные серии без формулы наизусть.