Сравнение двух серий корней при переходе к одной функции — задания с разбором, 10 класс

Памятка перед самостоятельной работой

Используйте тождества sin(2x)=2sin x cos x и cos(2x)=2cos²x−1. После переноса всех слагаемых в одну сторону вынесите общий множитель либо разложите квадратный трёхчлен по переменной y=cos x. Для произведения AB=0 достаточно A=0 или B=0; делить на A нельзя без проверки A≠0, иначе потеряются решения.

Все отрезки замкнутые, поэтому включайте правильные корни на границах. После получения двух групп объедините их и устраните возможные повторы. Полный ответ должен удовлетворять исходному, а не только преобразованному уравнению.

Самостоятельный вариант А — вынесение sin x

При записи ответа отделяйте группу от sin x=0 от группы от cos x=c/2, затем явно объединяйте их на заданном отрезке. Никакой ветви нельзя отбрасывать лишь потому, что уже найдено несколько корней.

1. № 1. Вариант A. Решите sin(2x) = (1)sin x на [0; 2π]. Сначала сведите произведение к одной функции; сравните ветви sin x=0 и cos x=1/2.
2. № 2. Вариант A. Решите sin(2x) = (-1)sin x на [0; 2π]. Сначала сведите произведение к одной функции; сравните ветви sin x=0 и cos x=−1/2.
3. № 3. Вариант A. Решите sin(2x) = (0)sin x на [−π; π]. Сначала сведите произведение к одной функции; сравните ветви sin x=0 и cos x=0.
4. № 4. Вариант A. Решите sin(2x) = (1)sin x на [−π; π]. Сначала сведите произведение к одной функции; сравните ветви sin x=0 и cos x=1/2.
5. № 5. Вариант A. Решите sin(2x) = (-1)sin x на [−2π; 0]. Сначала сведите произведение к одной функции; сравните ветви sin x=0 и cos x=−1/2.
6. № 6. Вариант A. Решите sin(2x) = (0)sin x на [0; 2π]. Сначала сведите произведение к одной функции; сравните ветви sin x=0 и cos x=0.
7. № 7. Вариант A. Решите sin(2x) = (1)sin x на [π; 3π]. Сначала сведите произведение к одной функции; сравните ветви sin x=0 и cos x=1/2.
8. № 8. Вариант A. Решите sin(2x) = (-1)sin x на [−π; 2π]. Сначала сведите произведение к одной функции; сравните ветви sin x=0 и cos x=−1/2.

Самостоятельный вариант Б — квадратичная замена cos x

Сначала замените cos(2x) на 2cos²x−1. После решения квадратного уравнения относительно y=cos x вернитесь к x. Следите за тем, что y — значение косинуса и должно лежать между −1 и 1; в этих задачах оба допустимых значения входят в диапазон.

9. № 9. Вариант Б. Найдите решения cos(2x) = (1)cos x на [0; 2π]. Замените cos(2x) через cos x и перечислите обе группы корней.
10. № 10. Вариант Б. Найдите решения cos(2x) = (-1)cos x на [0; 2π]. Замените cos(2x) через cos x и перечислите обе группы корней.
11. № 11. Вариант Б. Найдите решения cos(2x) = (1)cos x на [−π; π]. Замените cos(2x) через cos x и перечислите обе группы корней.
12. № 12. Вариант Б. Найдите решения cos(2x) = (-1)cos x на [−π; π]. Замените cos(2x) через cos x и перечислите обе группы корней.
13. № 13. Вариант Б. Найдите решения cos(2x) = (1)cos x на [−2π; 0]. Замените cos(2x) через cos x и перечислите обе группы корней.
14. № 14. Вариант Б. Найдите решения cos(2x) = (-1)cos x на [π; 3π]. Замените cos(2x) через cos x и перечислите обе группы корней.
15. № 15. Вариант Б. Найдите решения cos(2x) = (1)cos x на [π; 3π]. Замените cos(2x) через cos x и перечислите обе группы корней.
16. № 16. Вариант Б. Найдите решения cos(2x) = (-1)cos x на [−2π; 2π]. Замените cos(2x) через cos x и перечислите обе группы корней.

Ключ учителя: вариант А

1. Ответ 1. sin x·(2cos x−(1))=0. Серия от sin x=0: 0, π, 2π; ветвь cos x=1/2: π/3, 5π/3. Все корни: 0, π/3, π, 5π/3, 2π. Выбраны только точки отрезка.
2. Ответ 2. sin x·(2cos x−(-1))=0. Серия от sin x=0: 0, π, 2π; ветвь cos x=−1/2: 2π/3, 4π/3. Все корни: 0, 2π/3, π, 4π/3, 2π. Выбраны только точки отрезка.
3. Ответ 3. sin x·(2cos x−(0))=0. Серия от sin x=0: −π, 0, π; ветвь cos x=0: −π/2, π/2. Все корни: −π, −π/2, 0, π/2, π. Выбраны только точки отрезка.
4. Ответ 4. sin x·(2cos x−(1))=0. Серия от sin x=0: −π, 0, π; ветвь cos x=1/2: −π/3, π/3. Все корни: −π, −π/3, 0, π/3, π. Выбраны только точки отрезка.
5. Ответ 5. sin x·(2cos x−(-1))=0. Серия от sin x=0: −2π, −π, 0; ветвь cos x=−1/2: −4π/3, −2π/3. Все корни: −2π, −4π/3, −π, −2π/3, 0. Выбраны только точки отрезка.
6. Ответ 6. sin x·(2cos x−(0))=0. Серия от sin x=0: 0, π, 2π; ветвь cos x=0: π/2, 3π/2. Все корни: 0, π/2, π, 3π/2, 2π. Выбраны только точки отрезка.
7. Ответ 7. sin x·(2cos x−(1))=0. Серия от sin x=0: π, 2π, 3π; ветвь cos x=1/2: 5π/3, 7π/3. Все корни: π, 5π/3, 2π, 7π/3, 3π. Выбраны только точки отрезка.
8. Ответ 8. sin x·(2cos x−(-1))=0. Серия от sin x=0: −π, 0, π, 2π; ветвь cos x=−1/2: −2π/3, 2π/3, 4π/3. Все корни: −π, −2π/3, 0, 2π/3, π, 4π/3, 2π. Выбраны только точки отрезка.

Ключ учителя: вариант Б

9. Ответ 9. 2cos²x−1=(1)cos x; (cos x−1)(2cos x+1)=0. Отсюда cos x=1 и cos x=−1/2. Первая группа: 0, 2π, вторая: 2π/3, 4π/3. Объединение: 0, 2π/3, 4π/3, 2π.
10. Ответ 10. 2cos²x−1=(-1)cos x; (cos x+1)(2cos x−1)=0. Отсюда cos x=−1 и cos x=1/2. Первая группа: π, вторая: π/3, 5π/3. Объединение: π/3, π, 5π/3.
11. Ответ 11. 2cos²x−1=(1)cos x; (cos x−1)(2cos x+1)=0. Отсюда cos x=1 и cos x=−1/2. Первая группа: 0, вторая: −2π/3, 2π/3. Объединение: −2π/3, 0, 2π/3.
12. Ответ 12. 2cos²x−1=(-1)cos x; (cos x+1)(2cos x−1)=0. Отсюда cos x=−1 и cos x=1/2. Первая группа: −π, π, вторая: −π/3, π/3. Объединение: −π, −π/3, π/3, π.
13. Ответ 13. 2cos²x−1=(1)cos x; (cos x−1)(2cos x+1)=0. Отсюда cos x=1 и cos x=−1/2. Первая группа: −2π, 0, вторая: −4π/3, −2π/3. Объединение: −2π, −4π/3, −2π/3, 0.
14. Ответ 14. 2cos²x−1=(-1)cos x; (cos x+1)(2cos x−1)=0. Отсюда cos x=−1 и cos x=1/2. Первая группа: π, 3π, вторая: 5π/3, 7π/3. Объединение: π, 5π/3, 7π/3, 3π.
15. Ответ 15. 2cos²x−1=(1)cos x; (cos x−1)(2cos x+1)=0. Отсюда cos x=1 и cos x=−1/2. Первая группа: 2π, вторая: 4π/3, 8π/3. Объединение: 4π/3, 2π, 8π/3.
16. Ответ 16. 2cos²x−1=(-1)cos x; (cos x+1)(2cos x−1)=0. Отсюда cos x=−1 и cos x=1/2. Первая группа: −π, π, вторая: −5π/3, −π/3, π/3, 5π/3. Объединение: −5π/3, −π, −π/3, π/3, π, 5π/3.

Как проверить полноту

Если ученик поделил исходное уравнение sin(2x)=sin x на sin x, он сохранил только cos x=1/2 и потерял x=πk. Самый быстрый способ увидеть потерю — подставить x=0 в исходное уравнение: обе стороны равны нулю. Аналогично при cos(2x)=cos x нельзя сразу требовать cos x=−1/2, иначе теряется ветвь cos x=1.

На каждом варианте 8 заданий, по 3 балла: 1 за корректное разложение, 1 за обе ветви, 1 за точное ограничение отрезком и объединение. Всего 24 балла на вариант. Ученик может после проверки выделить номер, где он неверно исключил одну ветвь, и объяснить это на одном подстановочном корне.