Сравнение двух серий корней с тангенсом и периодичностью: упражнения разной сложности, 10 класс

Три контрольных вопроса перед тренировкой

1. № 1. Равносильны ли записи A: x=π/4+πk и B: x=5π/4+πk, если k — целое?
2. № 2. Ученик назвал периодом tan x число 2π. Верно ли, что tan(x+2π)=tan x, и является ли 2π наименьшим положительным периодом?
3. № 3. Почему запись tan x = 1 не допускает угол π/2, хотя x=π/2 входит в отрезок [0;π]?

Упражнения по нарастающей сложности

4. № 4. Сравните A: x=−π/4+πk и B: x=3π/4+πk. Для какого тангенса они являются решениями?
5. № 5. Одинаковы ли множества A: x=π/4+2πk и B: x=5π/4+2πk? Составляют ли они вместе все решения tan x=1?
6. № 6. Равносильны ли A: x=π/4+πk и B: x=3π/4+πk?
7. № 7. Перечислите корни tan x=1 из A: x=π/4+πk на [−π;π].
8. № 8. Два ученика записали для tan x=−1 серии −π/4+πk и 7π/4+πk. Кто прав?
9. № 9. Решите tan(2x)=1: сравните x=π/8+(π/2)k и x=5π/8+(π/2)k.
10. № 10. Верно ли, что tan x=0 допускает серию x=πk? Может ли серия x=2πk считаться полным решением?
11. № 11. Сравните две записи для tan x=1/√3: A: π/6+πk, B: −5π/6+πk. Перечислите корни на [0;2π].
12. № 12. Определите, сколько различных корней tan x=−1 содержится на [−π;2π], и перечислите их.

Быстрый ключ с пояснениями

1. Ответ 1. Да. 5π/4=π/4+π. Замена k↦k+1 показывает, что семейства описывают те же корни tan x=1.
2. Ответ 2. Первое верно, второе нет. tan(x+π)=tan x; наименьший положительный период равен π.
3. Ответ 3. В точке π/2 косинус равен нулю, поэтому tan x=sin x/cos x не определён. Принадлежность отрезку не снимает это ограничение.
4. Ответ 4. Обе серии совпадают, поскольку 3π/4=−π/4+π. Во всех этих точках tan x=−1.
5. Ответ 5. По отдельности A и B разные: первые углы отличаются на π и не связаны периодом 2π. Объединение A∪B равно x=π/4+πn для любого целого n.
6. Ответ 6. Нет: tan(π/4)=1, а tan(3π/4)=−1; разность оснований равна π/2, не целому числу периодов π.
7. Ответ 7. Допустимы k=−1 и 0. Корни: −3π/4 и π/4; оба удовлетворяют tan x=1.
8. Ответ 8. Оба: 7π/4−(−π/4)=2π, что равно двум периодам тангенса. Эти серии совпадают.
9. Ответ 9. Решение tan(2x)=1 означает 2x=π/4+πk, то есть x=π/8+(π/2)k. Вторая запись отличается от первой на π/2 и совпадает с ней после замены индекса.
10. Ответ 10. Общее решение x=πk. Серия x=2πk даёт только каждый второй корень и поэтому неполна.
11. Ответ 11. A и B совпадают: их основания различаются на π. На [0;2π] корни π/6 и 7π/6.
12. Ответ 12. Серия −π/4+πk даёт −π/4, 3π/4, 7π/4. Три корня; оба конца не являются корнями tan x=−1.

Проверка двух серий без перебора всех k

Для рядов A={a+Pk} и B={b+Pk} с одинаковым положительным шагом P сравните (a−b)/P. Если это целое число, серии равны. Если нет — серии различны. Это правило нельзя автоматически применять к рядам с разными шагами: например, x=π/4+πk и x=π/4+2πk не равны, хотя каждый элемент второго ряда принадлежит первому.

При решении tan(mx)=c сначала найдите общий угол для аргумента mx, а затем разделите на m и основной угол, и период. Например, tan(2x)=1 имеет период π/2 по x. Исключайте точки, в которых tan не определён, и обязательно проверяйте предложенные «сокращённые» серии на полноту.

Самооценка: по 1 баллу за пункты 1–3 и по 2 балла за пункты 4–12 (результат плюс объяснение). Максимум 21 балл. При ошибке в № 5 или 10 отработайте различие между серией с шагом π и двумя подсериями с шагом 2π.