Сравнение иррациональных чисел без калькулятора — задачи и ответы, 8 класс

Восьмикласснику не обязательно знать десятичную запись √11 или √13, чтобы их сравнить. Достаточно понимать, что квадратный корень из неотрицательного числа — это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному. Работа учит сравнивать иррациональные числа точно, без округления, а не угадывать по приблизительным десятичным значениям. Пригодится при оценке длины отрезков, выборе границ числа и проверке преобразований.

Наглядная шкала: где находится корень?

Из 9 < 11 < 16 следует 3 < √11 < 4. Точно так же 4 < √20 < 5, потому что 16 < 20 < 25. Представьте на координатном луче соседние целые отметки, а между ними — искомую точку. Длина √11 находится между тремя и четырьмя единицами. Это оценка, но она не заменяет сравнение близких корней.

Для двух неотрицательных чисел A и B верно: A < B тогда и только тогда, когда A² < B². Например, 2√3 и √13 неотрицательны; их квадраты — 12 и 13. Значит, 2√3 < √13. Возводить обе стороны в квадрат без проверки знаков нельзя: число −5 меньше 2, а его квадрат больше.

Исследуем правило перед работой

1. Объясни, почему √18 находится между 4 и 5, хотя число 18 намного больше 5.
2. Одинаковы ли числа √28 и 2√7? Найди квадраты обеих частей.
3. Что нужно проверить перед сравнением через возведение в квадрат: знак чисел или их округление?

Карточки ученику: расставь знаки

Выполни 16 упражнений. Для каждой пары запиши сначала квадрат левого и правого выражений. Если оба исходных выражения неотрицательны, перенеси отношение квадратов на исходные числа. Не используй калькулятор; примеры с равенством специально включены для проверки внимательности.

1. √11 __ √13. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
2. √20 __ √19. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
3. √7 __ 3√1. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
4. 2√3 __ √13. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
5. 3√2 __ 2√5. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
6. √28 __ 2√7. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
7. √15 __ 4√1. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
8. 2√6 __ √23. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
9. √50 __ 5√2. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
10. 3√3 __ 2√7. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
11. √17 __ √16. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
12. 2√5 __ √21. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
13. 3√5 __ √44. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
14. √31 __ 2√8. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
15. 2√11 __ √45. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.
16. 3√7 __ √62. Поставь знак <, > или =; объясни выбор.

Три вопроса для самостоятельной проверки

У всех ли выражений, которые ты возводил в квадрат, неотрицательное значение? Не перепутал ли √28 с 28? Почему два разных способа записи могут обозначать одно число, например √50 и 5√2? Если получился знак равенства, проверь его подстановкой квадратов, а не визуальным сходством записи.

Ответы и короткие доказательства

1. √11 < √13: квадраты неотрицательных чисел равны 11 и 13; левое меньше.
2. √20 > √19: квадраты неотрицательных чисел равны 20 и 19; левое больше.
3. √7 < 3√1: квадраты неотрицательных чисел равны 7 и 9; левое меньше.
4. 2√3 < √13: квадраты неотрицательных чисел равны 12 и 13; левое меньше.
5. 3√2 < 2√5: квадраты неотрицательных чисел равны 18 и 20; левое меньше.
6. √28 = 2√7: квадраты неотрицательных чисел равны 28 и 28; значения равны.
7. √15 < 4√1: квадраты неотрицательных чисел равны 15 и 16; левое меньше.
8. 2√6 > √23: квадраты неотрицательных чисел равны 24 и 23; левое больше.
9. √50 = 5√2: квадраты неотрицательных чисел равны 50 и 50; значения равны.
10. 3√3 < 2√7: квадраты неотрицательных чисел равны 27 и 28; левое меньше.
11. √17 > √16: квадраты неотрицательных чисел равны 17 и 16; левое больше.
12. 2√5 < √21: квадраты неотрицательных чисел равны 20 и 21; левое меньше.
13. 3√5 > √44: квадраты неотрицательных чисел равны 45 и 44; левое больше.
14. √31 < 2√8: квадраты неотрицательных чисел равны 31 и 32; левое меньше.
15. 2√11 < √45: квадраты неотрицательных чисел равны 44 и 45; левое меньше.
16. 3√7 > √62: квадраты неотрицательных чисел равны 63 и 62; левое больше.

Ключ к исследованию: 1) 16 < 18 < 25, поэтому 4 < √18 < 5; 2) квадраты √28 и 2√7 равны 28, оба выражения положительны, следовательно, они равны; 3) сначала проверяют неотрицательность. Ошибку чаще всего даёт мысль «у кого больше коэффициент перед корнем, тот и больше»: это неверно, потому что коэффициент и подкоренное число действуют вместе.

Для оценки: за каждый знак и верно записанные квадраты — 1 балл. В случаях равенства ответ без обоснования не засчитывается полностью. Если учащийся ошибся в сравнении чисел 3√2 и 2√5, предложите вернуться к квадратикам на схеме: их квадраты 18 и 20, поэтому меньшим является 3√2. В конце попросите придумать собственную пару равных иррациональных выражений.

Точность важнее десятичных приближений

Иногда школьник пытается заменить √11 числом 3,3, а √13 числом 3,6, затем сравнивает приближённые десятичные дроби. Для общего представления об их величине такой способ допустим, но в проверочной работе он добавляет риск округления: близкие значения можно перепутать. Сравнение подкоренных чисел 11 и 13 точно и короче. Для выражений с коэффициентами сначала приводите их к удобному виду: 2√5 и 3√2 имеют квадраты 20 и 18. Следовательно, 2√5 больше 3√2; вовсе не обязательно выяснять десятые доли значений корней.

Когда один участник сравнения целый, его можно записать как корень из квадрата. Например, 4 = √16 и 5 = √25. Это не единственный путь, но полезное объяснение, почему √15 меньше 4, а √26 больше 5. Если один из радикалов содержит полный квадрат, то его лучше сначала вынести: √50 = 5√2. Для проверки достаточно возвести оба неотрицательных выражения в квадрат и сравнить полученные целые числа.

Ситуация, в которой правило квадратов запрещено без оговорки, выглядит так: −√9 и √4. Квадраты равны соответственно 9 и 4, но исходное отрицательное число меньше положительного. Поэтому рядом с каждой задачей полезно мысленно задавать вопрос: «Оба числа неотрицательны?» В нашей основной карточке ответ всегда положительный, но проверка этого условия формирует правильный навык для следующих тем.