Сравнение коэффициентов роста по двум измерениям через равные интервалы — упражнения разной сложности, 10 класс

Математика • 10 класс. Углублённый практикум из 24 заданий: от соседних измерений до сравнения прогнозов двух процессов.

Метод сравнения, который не зависит от масштаба

Если два положительных показателя измерены через Δn одинаковых интервалов времени, отношение последнего измерения к первому равно q^Δn. При Δn=1 коэффициент равен простому отношению. При Δn=2 нужно извлечь положительный квадратный корень из отношения. Ни абсолютная прибавка, ни конечное значение сами по себе не показывают, какой процесс имеет больший относительный коэффициент роста.

Образец: A(1)=18, A(3)=72, B(1)=30, B(3)=67,5. Тогда q_A=√(72/18)=2, а q_B=√(67,5/30)=1,5. Значит A растёт быстрее относительно текущего значения, хотя начальное измерение B было больше. Проверка: за два шага A умножился на 4, B — на 2,25.

Уровень 1 — наблюдения через один шаг (1–8)

Для каждой пары восстановите коэффициенты без промежуточного моделирования. Дополнительный вопрос: если коэффициенты одинаковы, может ли один показатель в течение некоторого времени иметь больший абсолютный прирост? Объясните на числах выбранной задачи.

1. Процесс A: A(0)=12, A(1)=24. Процесс B: B(0)=16, B(1)=24. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
2. Процесс A: A(0)=24, A(1)=32. Процесс B: B(0)=27, B(1)=54. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
3. Процесс A: A(0)=20, A(1)=25. Процесс B: B(0)=25, B(1)=30. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
4. Процесс A: A(0)=18, A(1)=27. Процесс B: B(0)=12, B(1)=18. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
5. Процесс A: A(0)=15, A(1)=45. Процесс B: B(0)=45, B(1)=75. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
6. Процесс A: A(0)=30, A(1)=36. Процесс B: B(0)=36, B(1)=48. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
7. Процесс A: A(0)=25, A(1)=50. Процесс B: B(0)=50, B(1)=40. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
8. Процесс A: A(0)=16, A(1)=20. Процесс B: B(0)=27, B(1)=81/2. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.

Уровень 2 — измерения через два шага (9–16)

Представьте, что таблица содержит показания на первом и третьем месяце. Отношение измерений является квадратом коэффициента за один месяц. Запишите два действия: найдите отношение, извлеките положительный корень и сравните.

9. Процесс A: A(1)=40, A(3)=160. Процесс B: B(1)=36, B(3)=81. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
10. Процесс A: A(1)=72, A(3)=128. Процесс B: B(1)=60, B(3)=375/4. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
11. Процесс A: A(1)=45, A(3)=1125/16. Процесс B: B(1)=54, B(3)=1944/25. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
12. Процесс A: A(1)=48, A(3)=432. Процесс B: B(1)=40, B(3)=160. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
13. Процесс A: A(1)=20, A(3)=64/5. Процесс B: B(1)=100/3, B(3)=400/27. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
14. Процесс A: A(1)=18, A(3)=81/2. Процесс B: B(1)=36, B(3)=81. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
15. Процесс A: A(1)=54, A(3)=1944/25. Процесс B: B(1)=40, B(3)=640/9. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.
16. Процесс A: A(1)=250/3, A(3)=6250/27. Процесс B: B(1)=96, B(3)=216. Найдите коэффициент за один шаг в каждой модели и сравните относительные скорости.

Уровень 3 — сравните не только коэффициент, но и результат (17–24)

Показания сделаны в моменты 2 и 4. Сперва восстановите q, затем A₀ и B₀; проверьте прогноз на пятый шаг. Внимание: более быстрый относительный рост может пока не привести к большему абсолютному показателю.

17. A(2)=36, A(4)=144; B(2)=135/2, B(4)=1215/8. Определите q обеих моделей. Какая из них имеет больший коэффициент? Какой процесс будет иметь большее значение в момент n=5?
18. A(2)=256/3, A(4)=4096/27; B(2)=225/4, B(4)=5625/64. Определите q обеих моделей. Какая из них имеет больший коэффициент? Какой процесс будет иметь большее значение в момент n=5?
19. A(2)=36, A(4)=1296/25; B(2)=640/9, B(4)=10240/81. Определите q обеих моделей. Какая из них имеет больший коэффициент? Какой процесс будет иметь большее значение в момент n=5?
20. A(2)=243, A(4)=2187; B(2)=216, B(4)=864. Определите q обеих моделей. Какая из них имеет больший коэффициент? Какой процесс будет иметь большее значение в момент n=5?
21. A(2)=48, A(4)=768/25; B(2)=320/9, B(4)=1280/81. Определите q обеих моделей. Какая из них имеет больший коэффициент? Какой процесс будет иметь большее значение в момент n=5?
22. A(2)=125/2, A(4)=3125/32; B(2)=54, B(4)=243/2. Определите q обеих моделей. Какая из них имеет больший коэффициент? Какой процесс будет иметь большее значение в момент n=5?
23. A(2)=36, A(4)=81; B(2)=729/4, B(4)=6561/16. Определите q обеих моделей. Какая из них имеет больший коэффициент? Какой процесс будет иметь большее значение в момент n=5?
24. A(2)=120, A(4)=480; B(2)=500/9, B(4)=12500/81. Определите q обеих моделей. Какая из них имеет больший коэффициент? Какой процесс будет иметь большее значение в момент n=5?

Ключ с решениями по трём уровням

Уровень 1

1. q_A=2, q_B=3/2; быстрее по коэффициенту: A. Для интервала 1 шаг(а) проверка: (2)¹=2, (3/2)¹=3/2.
2. q_A=4/3, q_B=2; быстрее по коэффициенту: B. Для интервала 1 шаг(а) проверка: (4/3)¹=4/3, (2)¹=2.
3. q_A=5/4, q_B=6/5; быстрее по коэффициенту: A. Для интервала 1 шаг(а) проверка: (5/4)¹=5/4, (6/5)¹=6/5.
4. q_A=3/2, q_B=3/2; быстрее по коэффициенту: одинаковы. Для интервала 1 шаг(а) проверка: (3/2)¹=3/2, (3/2)¹=3/2.
5. q_A=3, q_B=5/3; быстрее по коэффициенту: A. Для интервала 1 шаг(а) проверка: (3)¹=3, (5/3)¹=5/3.
6. q_A=6/5, q_B=4/3; быстрее по коэффициенту: B. Для интервала 1 шаг(а) проверка: (6/5)¹=6/5, (4/3)¹=4/3.
7. q_A=2, q_B=4/5; быстрее по коэффициенту: A. Для интервала 1 шаг(а) проверка: (2)¹=2, (4/5)¹=4/5.
8. q_A=5/4, q_B=3/2; быстрее по коэффициенту: B. Для интервала 1 шаг(а) проверка: (5/4)¹=5/4, (3/2)¹=3/2.

Уровень 2

9. q_A=2, q_B=3/2; быстрее по коэффициенту: A. Для интервала 2 шаг(а) проверка: (2)²=4, (3/2)²=9/4.
10. q_A=4/3, q_B=5/4; быстрее по коэффициенту: A. Для интервала 2 шаг(а) проверка: (4/3)²=16/9, (5/4)²=25/16.
11. q_A=5/4, q_B=6/5; быстрее по коэффициенту: A. Для интервала 2 шаг(а) проверка: (5/4)²=25/16, (6/5)²=36/25.
12. q_A=3, q_B=2; быстрее по коэффициенту: A. Для интервала 2 шаг(а) проверка: (3)²=9, (2)²=4.
13. q_A=4/5, q_B=2/3; быстрее по коэффициенту: A. Для интервала 2 шаг(а) проверка: (4/5)²=16/25, (2/3)²=4/9.
14. q_A=3/2, q_B=3/2; быстрее по коэффициенту: одинаковы. Для интервала 2 шаг(а) проверка: (3/2)²=9/4, (3/2)²=9/4.
15. q_A=6/5, q_B=4/3; быстрее по коэффициенту: B. Для интервала 2 шаг(а) проверка: (6/5)²=36/25, (4/3)²=16/9.
16. q_A=5/3, q_B=3/2; быстрее по коэффициенту: A. Для интервала 2 шаг(а) проверка: (5/3)²=25/9, (3/2)²=9/4.

Уровень 3

17. q_A=2, q_B=3/2; A₀=9, B₀=30 (делим данные при n=2 на q²); коэффициент выше у A. A(5)=288, B(5)=3645/16; большее значение: A. Сам по себе больший q не гарантирует большее значение при разных A₀.
18. q_A=4/3, q_B=5/4; A₀=48, B₀=36 (делим данные при n=2 на q²); коэффициент выше у A. A(5)=16384/81, B(5)=28125/256; большее значение: A. Сам по себе больший q не гарантирует большее значение при разных A₀.
19. q_A=6/5, q_B=4/3; A₀=25, B₀=40 (делим данные при n=2 на q²); коэффициент выше у B. A(5)=7776/125, B(5)=40960/243; большее значение: B. Сам по себе больший q не гарантирует большее значение при разных A₀.
20. q_A=3, q_B=2; A₀=27, B₀=54 (делим данные при n=2 на q²); коэффициент выше у A. A(5)=6561, B(5)=1728; большее значение: A. Сам по себе больший q не гарантирует большее значение при разных A₀.
21. q_A=4/5, q_B=2/3; A₀=75, B₀=80 (делим данные при n=2 на q²); коэффициент выше у A. A(5)=3072/125, B(5)=2560/243; большее значение: A. Сам по себе больший q не гарантирует большее значение при разных A₀.
22. q_A=5/4, q_B=3/2; A₀=40, B₀=24 (делим данные при n=2 на q²); коэффициент выше у B. A(5)=15625/128, B(5)=729/4; большее значение: B. Сам по себе больший q не гарантирует большее значение при разных A₀.
23. q_A=3/2, q_B=3/2; A₀=16, B₀=81 (делим данные при n=2 на q²); коэффициент выше у одинаковы. A(5)=243/2, B(5)=19683/32; большее значение: B. Сам по себе больший q не гарантирует большее значение при разных A₀.
24. q_A=2, q_B=5/3; A₀=30, B₀=20 (делим данные при n=2 на q²); коэффициент выше у A. A(5)=960, B(5)=62500/243; большее значение: A. Сам по себе больший q не гарантирует большее значение при разных A₀.

Самопроверка и важные ограничения

Положительные значения и постоянство q на рассматриваемом интервале — явные предпосылки всех задач. Если процесс начинает убывать или входит в режим насыщения, коэффициент, найденный на одном интервале, нельзя автоматически переносить на дальнейшие годы. При сравнении двух процессов обязательно приводите коэффициенты к одной длительности шага: «за неделю» и «за месяц» без пересчёта сравнивать некорректно.

Проверка решения на обратном ходе: подставьте найденный q в отношение A(t+2)/A(t) = q² и убедитесь в точном совпадении с исходными данными. Если у вас получилось отрицательное значение q, проверьте знак корня: в модели положительных величин выбран положительный коэффициент.