Сравнение коэффициентов роста при ограничении максимального значения: задания с разбором, 10 класс

Математика • 10 класс. Прикладная задача с таблицей и 12 взаимосвязанными вопросами о коэффициентах и насыщении.

Данные проекта: два накопителя с защитным максимумом

В учебном эксперименте два виртуальных накопителя A и B считают условные единицы. У каждого есть предельное показание 80. В обычном режиме A(n)=6·2ⁿ, B(n)=27·(4/3)ⁿ, но счётчик показывает не больше 80: фактическое показание есть min(80, результат формулы). Все интервалы одинаковы; округлять до целых до сравнения нельзя.

Модель и вопросы к таблице

Два отношения соседних наблюдений до насыщения помогают восстановить собственный коэффициент. После достижения ограничения отношение реальных показаний уже не обязано быть постоянным. Задания 1–12 связаны друг с другом: используйте цифры таблицы и прямо указывайте, говорите ли о теоретическом прогнозе или о наблюдаемом значении.

1. Определите коэффициент роста A по первым двум наблюдениям и проверьте его по данным второго шага.
2. Найдите коэффициент роста B на участке, где потолок не достигнут, двумя независимыми отношениями.
3. Какой процесс растёт быстрее в относительном выражении до ограничения? Обоснуйте численно.
4. Какой процесс имеет больший измеренный показатель на шаге n=2? Совпадает ли это с выводом задания 3?
5. Заполните в таблице пропущенные значения для n=3; рассчитайте сначала теоретический прогноз.
6. Без ограничения вычислите A(4) и B(4). Какие показания будут фактически записаны при максимуме 80?
7. На каком первом шаге каждая модель достигает потолка? Проверьте предыдущий шаг.
8. Разделите наблюдения A(4)/A(3) и B(4)/B(3). Почему полученные отношения нельзя принять за исходные коэффициенты?
9. Сколько покажут оба счётчика на шаге n=5, если после достижения максимума значения остаются равными 80?
10. Предположим, потолок увеличен до 100 с самого начала. Чему равны значения обеих моделей в момент n=4?
11. Известно только, что на шаге n=4 счётчик A показывает 80, а до этого данных не сохранили. Можно ли однозначно восстановить q и A₀?
12. Дополнительная проверка: если на шаге n=3 измерено 48, на шаге n=4 — ровно 80, а потолок равен 80, какое неравенство для неизвестного q следует из данных?

Ответы и подробная проверка

1. 1. q_A=12/6=2. Проверка 24/12=2. На первых трёх показаниях режим насыщения не включился.
2. 2. q_B=36/27=4/3 и 48/36=4/3. Согласие отношений подтверждает постоянный множитель до насыщения.
3. 3. У A коэффициент 2, у B — 4/3; поэтому A растёт быстрее в относительном выражении, хотя сначала его показатель меньше.
4. 4. A(2)=24, B(2)=48; больше B. Коэффициент и абсолютный размер — разные свойства моделей.
5. 5. Без ограничения A(3)=6·2³=48, B(3)=27·(4/3)³=64. Оба числа ещё меньше 80, поэтому показания 48 и 64.
6. 6. Расчёт A без потолка: 6·16=96. Расчёт B: 27·256/81=256/3 (≈85,33). После ограничения обе записи равны 80.
7. 7. Оба процесса впервые достигают 80 на шаге 4: на шаге 3 было 48 у A и 64 у B, то есть меньше максимума.
8. 8. A(4)/A(3)=80/48=5/3, B(4)/B(3)=80/64=5/4. Они меньше исходных 2 и 4/3 из-за срезания по потолку.
9. 9. A(5)=B(5)=80: это наблюдаемые значения насыщенного процесса, а не результаты формулы без ограничения.
10. 10. При M=100 модель A даёт min(100,96)=96, модель B — min(100,256/3)=256/3; ни одно значение не достигло 100.
11. 11. Нет: уравнение min(80,A₀q⁴)=80 задаёт множество пар A₀>0, q>0 с A₀q⁴≥80. Одна запись не определяет два параметра.
12. 12. Если 48 — показание ниже потолка, истинная величина перед следующим шагом равна 48; из min(80,48q)=80 следует q≥80/48=5/3. Единственное q определить нельзя.

Единицы таблицы — условные, потому что коэффициент роста безразмерен и сам по себе не сообщает, идёт речь о литрах, изделиях или показаниях прибора. При построении модели сравнивать нужно одинаковые промежутки времени: если одна строка показывает данные за день, а другая за неделю, отношения нельзя считать сопоставимыми без пересчёта. Здесь оба счётчика измеряют величины после каждого одного и того же шага, поэтому q=2 и q=4/3 сравнимы напрямую. Важно также не путать «значение стало равным 80» с «формула даёт ровно 80»: после достижения потолка расчётные величины могут быть больше зарегистрированного результата.

Как проверить адекватность вывода

Тот факт, что оба счётчика показывают 80, не доказывает одинаковой скорости роста: на шаге n=4 их расчётные значения различны. После насыщения нельзя находить исходный коэффициент по частному соседних показаний. Обратная проверка должна состоять из двух шагов: вычислите значение без ограничения, затем примените минимум с 80.

Модель пригодна как упражнение о пределах, а не как физический закон для реальных накопителей: фактическое оборудование может перестать принимать ресурс, а не просто перестать отображать изменение. Все дополнительные условия в задачах сформулированы явно. Если заменяют максимальное значение, нужно пересчитать весь ряд с новым M, а не исправлять только одну ячейку.