Сравнение линейных моделей для расхода воды по дням — проверочная работа по математике, 7 класс

7 класс · линейные модели · углублённая проверочная работа. Рассматриваются только числовые модели ежедневного расхода воды. В формулах W(n)=a+bn число a обозначает уже учтённый исходный объём к началу наблюдений, b — расход за каждые полные сутки, n — целое неотрицательное число суток. Все данные — учебные, не нормативы водопотребления. В ответах единица измерения обязательна.

Как сравнить модели, не путая начальный объём и скорость

Первое сравнение делают при одинаковом n: сначала вычисляют оба значения, затем вычитают меньший расход из большего. Если интересует момент равенства, решают a+bn=c+dn и проверяют, что найденное число суток входит в требуемый интервал. Например, для A(n)=18+9n и B(n)=42+5n получаем 4n=24, n=6. Обе модели дают 72 л. При n=5: A=63 л, B=67 л; при n=7: A=81 л, B=77 л. Разность меняет знак после момента пересечения. Если n оказалось 4,5, равенство моделей в течение целых завершённых суток не наступает.

При проверке лимита нельзя округлять верхнюю границу вверх: из n≤8,7 и целого n следует n≤8. В задачах с ограничением двумя планами надо выполнить оба неравенства одновременно. Нельзя считать, что меньший стартовый расход обязательно останется меньшим через 10 суток: наклон графика может изменить результат. График здесь полезен для предварительного вывода, но ответ подтверждается подстановкой чисел.

Уровень I — сравнение расходов в один день

1. В журнале расхода воды две линейные модели: A(n)=36+11n, B(n)=60+7n (литры). Сравните накопленные объёмы за n=3 суток: какая модель даёт больший расход и на сколько литров?
2. В журнале расхода воды две линейные модели: A(n)=18+14n, B(n)=50+10n (литры). Сравните накопленные объёмы за n=5 суток: какая модель даёт больший расход и на сколько литров?
3. В журнале расхода воды две линейные модели: A(n)=24+9n, B(n)=54+6n (литры). Сравните накопленные объёмы за n=7 суток: какая модель даёт больший расход и на сколько литров?
4. В журнале расхода воды две линейные модели: A(n)=40+6n, B(n)=16+10n (литры). Сравните накопленные объёмы за n=4 суток: какая модель даёт больший расход и на сколько литров?
5. В журнале расхода воды две линейные модели: A(n)=12+15n, B(n)=52+10n (литры). Сравните накопленные объёмы за n=8 суток: какая модель даёт больший расход и на сколько литров?
6. В журнале расхода воды две линейные модели: A(n)=32+8n, B(n)=8+12n (литры). Сравните накопленные объёмы за n=6 суток: какая модель даёт больший расход и на сколько литров?
7. В журнале расхода воды две линейные модели: A(n)=28+12n, B(n)=52+8n (литры). Сравните накопленные объёмы за n=2 суток: какая модель даёт больший расход и на сколько литров?
8. В журнале расхода воды две линейные модели: A(n)=52+7n, B(n)=22+10n (литры). Сравните накопленные объёмы за n=9 суток: какая модель даёт больший расход и на сколько литров?

Для каждого пункта запишите два вычисления отдельно. Не складывайте наклоны моделей: это два альтернативных варианта наблюдения, а не общий расход одного объекта. Отрицательное значение разности A−B не означает отрицательного расхода — оно показывает, что модель B даёт больший объём. Число в ответе всегда приводите в литрах.

Уровень II — может ли расход совпасть в целые сутки?

1. Даны A(n)=9+13n и B(n)=45+9n л. Можно ли получить одинаковый расход в целое число суток n от 0 до 20? Если да, укажите сутки, а также какая модель больше при n=6.
2. Даны A(n)=66+4n и B(n)=18+10n л. Можно ли получить одинаковый расход в целое число суток n от 0 до 20? Если да, укажите сутки, а также какая модель больше при n=4.
3. Даны A(n)=25+10n и B(n)=45+8n л. Можно ли получить одинаковый расход в целое число суток n от 0 до 20? Если да, укажите сутки, а также какая модель больше при n=10.
4. Даны A(n)=20+12n и B(n)=60+7n л. Можно ли получить одинаковый расход в целое число суток n от 0 до 20? Если да, укажите сутки, а также какая модель больше при n=3.
5. Даны A(n)=15+9n и B(n)=39+6n л. Можно ли получить одинаковый расход в целое число суток n от 0 до 20? Если да, укажите сутки, а также какая модель больше при n=7.
6. Даны A(n)=30+7n и B(n)=10+9n л. Можно ли получить одинаковый расход в целое число суток n от 0 до 20? Если да, укажите сутки, а также какая модель больше при n=10.
7. Даны A(n)=14+11n и B(n)=50+8n л. Можно ли получить одинаковый расход в целое число суток n от 0 до 20? Если да, укажите сутки, а также какая модель больше при n=5.
8. Даны A(n)=50+5n и B(n)=20+10n л. Можно ли получить одинаковый расход в целое число суток n от 0 до 20? Если да, укажите сутки, а также какая модель больше при n=6.

Уравнение моделей даёт кандидат на момент равенства. Однако в условии есть ограничение: сутки отсчитываются целыми числами от нуля до двадцати. Поэтому значение 9/2 не подходит, хотя графики прямых пересекаются при таком действительном n. Проверка подстановкой в обе формулы нужна и для случаев, когда искомый день совпадает с днём дополнительного сравнения.

Уровень III — одновременно соблюсти два лимита

1. Вода ограничена планом 126 л для каждой из моделей A(n)=26+8n и B(n)=46+6n. До каких последних целых суток n≤20 обе модели одновременно не превышают свой лимит? Сравните также их расход в n=10.
2. Вода ограничена планом 79 л для каждой из моделей A(n)=18+13n и B(n)=58+8n. До каких последних целых суток n≤20 обе модели одновременно не превышают свой лимит? Сравните также их расход в n=4.
3. Вода ограничена планом 113 л для каждой из моделей A(n)=45+8n и B(n)=15+13n. До каких последних целых суток n≤20 обе модели одновременно не превышают свой лимит? Сравните также их расход в n=6.
4. Вода ограничена планом 157 л для каждой из моделей A(n)=40+12n и B(n)=60+10n. До каких последних целых суток n≤20 обе модели одновременно не превышают свой лимит? Сравните также их расход в n=9.
5. Вода ограничена планом 115 л для каждой из моделей A(n)=17+6n и B(n)=32+9n. До каких последних целых суток n≤20 обе модели одновременно не превышают свой лимит? Сравните также их расход в n=7.
6. Вода ограничена планом 105 л для каждой из моделей A(n)=24+12n и B(n)=48+9n. До каких последних целых суток n≤20 обе модели одновременно не превышают свой лимит? Сравните также их расход в n=6.
7. Вода ограничена планом 158 л для каждой из моделей A(n)=70+4n и B(n)=30+9n. До каких последних целых суток n≤20 обе модели одновременно не превышают свой лимит? Сравните также их расход в n=12.
8. Вода ограничена планом 152 л для каждой из моделей A(n)=15+16n и B(n)=63+10n. До каких последних целых суток n≤20 обе модели одновременно не превышают свой лимит? Сравните также их расход в n=8.

Ключ с вычислениями и проверкой

1. № 1. A(3)=36+11·3=69 л; B(3)=60+7·3=81 л. Модель B показывает на 12 л больше.
2. № 2. A(5)=18+14·5=88 л; B(5)=50+10·5=100 л. Модель B показывает на 12 л больше.
3. № 3. A(7)=24+9·7=87 л; B(7)=54+6·7=96 л. Модель B показывает на 9 л больше.
4. № 4. A(4)=40+6·4=64 л; B(4)=16+10·4=56 л. Модель A показывает на 8 л больше.
5. № 5. A(8)=12+15·8=132 л; B(8)=52+10·8=132 л. Расходы равны.
6. № 6. A(6)=32+8·6=80 л; B(6)=8+12·6=80 л. Расходы равны.
7. № 7. A(2)=28+12·2=52 л; B(2)=52+8·2=68 л. Модель B показывает на 16 л больше.
8. № 8. A(9)=52+7·9=115 л; B(9)=22+10·9=112 л. Модель A показывает на 3 л больше.
9. № 9. Равенство: (13−9)n=45−9, поэтому n=9. Проверка: обе модели дают 126 л. На 6-е сутки: A=87, B=99 л; B больше.
10. № 10. Равенство: (4−10)n=18−66, поэтому n=8. Проверка: обе модели дают 98 л. На 4-е сутки: A=82, B=58 л; A больше.
11. № 11. Равенство: (10−8)n=45−25, поэтому n=10. Проверка: обе модели дают 125 л. На 10-е сутки: A=125, B=125 л; Значения равны.
12. № 12. Равенство: (12−7)n=60−20, поэтому n=8. Проверка: обе модели дают 116 л. На 3-е сутки: A=56, B=81 л; B больше.
13. № 13. Равенство: (9−6)n=39−15, поэтому n=8. Проверка: обе модели дают 87 л. На 7-е сутки: A=78, B=81 л; B больше.
14. № 14. Равенство: (7−9)n=10−30, поэтому n=10. Проверка: обе модели дают 100 л. На 10-е сутки: A=100, B=100 л; Значения равны.
15. № 15. Равенство: (11−8)n=50−14, поэтому n=12. Проверка: обе модели дают 146 л. На 5-е сутки: A=69, B=90 л; B больше.
16. № 16. Равенство: (5−10)n=20−50, поэтому n=6. Проверка: обе модели дают 80 л. На 6-е сутки: A=80, B=80 л; Значения равны.
17. № 17. Из 26+8n≤126 получаем n≤25/2; из 46+6n≤126 — n≤40/3. Последние целые допустимые сутки: 12. Проверка: A(12)=122 л, B(12)=118 л; обе величины ≤126. При n=10: A=106 л, B=106 л; Равны.
18. № 18. Из 18+13n≤79 получаем n≤61/13; из 58+8n≤79 — n≤21/8. Последние целые допустимые сутки: 2. Проверка: A(2)=44 л, B(2)=74 л; обе величины ≤79. При n=4: A=70 л, B=90 л; B больше.
19. № 19. Из 45+8n≤113 получаем n≤17/2; из 15+13n≤113 — n≤98/13. Последние целые допустимые сутки: 7. Проверка: A(7)=101 л, B(7)=106 л; обе величины ≤113. При n=6: A=93 л, B=93 л; Равны.
20. № 20. Из 40+12n≤157 получаем n≤39/4; из 60+10n≤157 — n≤97/10. Последние целые допустимые сутки: 9. Проверка: A(9)=148 л, B(9)=150 л; обе величины ≤157. При n=9: A=148 л, B=150 л; B больше.
21. № 21. Из 17+6n≤115 получаем n≤49/3; из 32+9n≤115 — n≤83/9. Последние целые допустимые сутки: 9. Проверка: A(9)=71 л, B(9)=113 л; обе величины ≤115. При n=7: A=59 л, B=95 л; B больше.
22. № 22. Из 24+12n≤105 получаем n≤27/4; из 48+9n≤105 — n≤19/3. Последние целые допустимые сутки: 6. Проверка: A(6)=96 л, B(6)=102 л; обе величины ≤105. При n=6: A=96 л, B=102 л; B больше.
23. № 23. Из 70+4n≤158 получаем n≤22; из 30+9n≤158 — n≤128/9. Последние целые допустимые сутки: 14. Проверка: A(14)=126 л, B(14)=156 л; обе величины ≤158. При n=12: A=118 л, B=138 л; B больше.
24. № 24. Из 15+16n≤152 получаем n≤137/16; из 63+10n≤152 — n≤89/10. Последние целые допустимые сутки: 8. Проверка: A(8)=143 л, B(8)=143 л; обе величины ≤152. При n=8: A=143 л, B=143 л; Равны.

Итоговая проверка решения: единицы литров написаны у расхода, число суток неотрицательно и целое, при совместном ограничении проверены обе модели. Если заявлен «самый поздний день», дополнительно проверьте следующий за ним день: если он входит в диапазон, хотя бы одна модель должна превышать лимит. В задачах о равенстве двух прямых при разных наклонах решение единственно в действительных числах, но может отсутствовать среди целых допустимых суток.