Сравнение локального и глобального оптимума для рациональной функции с разрывом — рабочий лист для 11 класса

Математика · 11 класс. Углублённый рабочий лист: 22 задания в трёх уровнях, полюса, выколотые точки и глобальные значения.

Метод: сначала область определения, потом производная и границы

Для рациональной функции с разрывом нет универсального правила «найти все нули производной и оба конца отрезка» без проверки области определения. Исключённая точка может разбивать промежуток на две компоненты. При вертикальной асимптоте функция может быть неограниченной, и глобального максимума либо минимума не будет вообще; при устранимом разрыве ситуация зависит от того, где находится выколотая точка. Необязательно, чтобы локальный максимум на одной компоненте был наибольшим значением на всём множестве.

В этом листе локальные экстремумы рассматриваются только во внутренних точках компоненты области определения. Концевые точки сравниваются отдельно. Для любого утверждения о глобальном максимуме следует проверить не просто большое значение, а то, что никакая допустимая последовательность аргументов не даёт ещё больше. Нельзя «подставить» запрещённый аргумент даже после формального сокращения дроби: область определения исходной функции сохраняется.

Уровень I — полюс внутри отрезка (1–8)

Рассмотрите f(x)=(x−c)+s²/(x−c)+b, где s>0 и x≠c. Отрезок намеренно включает точку c, хотя сама она выколота. Для каждого задания найдите локальный максимум и локальный минимум на соответствующих ветвях, но затем отдельно решите, есть ли на всей указанной области абсолютные максимальное и минимальное значения. Объясните через односторонние пределы.

1. Для f(x)=(x−(0))+4/(x−(0))+(0) на [-4;4] при x≠0 определите оба локальных экстремума и существование глобальных. Покажите поведение слева и справа от исключённой точки.
2. Для f(x)=(x−(2))+1/(x−(2))+(3) на [0;4] при x≠2 определите оба локальных экстремума и существование глобальных. Покажите поведение слева и справа от исключённой точки.
3. Для f(x)=(x−(-3))+9/(x−(-3))+(-2) на [-9;3] при x≠-3 определите оба локальных экстремума и существование глобальных. Покажите поведение слева и справа от исключённой точки.
4. Для f(x)=(x−(1))+16/(x−(1))+(1) на [-7;9] при x≠1 определите оба локальных экстремума и существование глобальных. Покажите поведение слева и справа от исключённой точки.
5. Для f(x)=(x−(-2))+4/(x−(-2))+(5) на [-6;2] при x≠-2 определите оба локальных экстремума и существование глобальных. Покажите поведение слева и справа от исключённой точки.
6. Для f(x)=(x−(4))+9/(x−(4))+(-1) на [-2;10] при x≠4 определите оба локальных экстремума и существование глобальных. Покажите поведение слева и справа от исключённой точки.
7. Для f(x)=(x−(5))+1/(x−(5))+(2) на [3;7] при x≠5 определите оба локальных экстремума и существование глобальных. Покажите поведение слева и справа от исключённой точки.
8. Для f(x)=(x−(-1))+16/(x−(-1))+(-3) на [-9;7] при x≠-1 определите оба локальных экстремума и существование глобальных. Покажите поведение слева и справа от исключённой точки.

Уровень II — устранимый разрыв, проверка достижимости (9–15)

Теперь g(x)=(x²−a²)/(x−a) при x≠a. Алгебраическое выражение сокращается до x+a, однако точка x=a остаётся исключённой. На каждой допустимой части отрезка функция строго возрастает. При внутренней выколотой точке концы отрезка сохраняют глобальные экстремумы; если исключён именно левый или правый конец, соответствующее граничное значение может не достигаться.

9. Для g(x)=(x²−(1)²)/(x−(1)) на [-2;3], x≠1, назовите точную область определения; найдите глобальные минимум и максимум, если они достигаются, либо укажите точную нижнюю или верхнюю грань.
10. Для g(x)=(x²−(2)²)/(x−(2)) на [0;5], x≠2, назовите точную область определения; найдите глобальные минимум и максимум, если они достигаются, либо укажите точную нижнюю или верхнюю грань.
11. Для g(x)=(x²−(-1)²)/(x−(-1)) на [-3;2], x≠-1, назовите точную область определения; найдите глобальные минимум и максимум, если они достигаются, либо укажите точную нижнюю или верхнюю грань.
12. Для g(x)=(x²−(0)²)/(x−(0)) на [-2;4], x≠0, назовите точную область определения; найдите глобальные минимум и максимум, если они достигаются, либо укажите точную нижнюю или верхнюю грань.
13. Для g(x)=(x²−(1)²)/(x−(1)) на [1;5], x≠1, назовите точную область определения; найдите глобальные минимум и максимум, если они достигаются, либо укажите точную нижнюю или верхнюю грань.
14. Для g(x)=(x²−(3)²)/(x−(3)) на [-1;3], x≠3, назовите точную область определения; найдите глобальные минимум и максимум, если они достигаются, либо укажите точную нижнюю или верхнюю грань.
15. Для g(x)=(x²−(-2)²)/(x−(-2)) на [-2;2], x≠-2, назовите точную область определения; найдите глобальные минимум и максимум, если они достигаются, либо укажите точную нижнюю или верхнюю грань.

Уровень III — одна ветвь рациональной функции (16–22)

В последнем уровне разрыв лежит вне рассматриваемого отрезка, но тип экстремума по прежней дробной формуле остаётся важен. Положим t=x−c. На правой ветви t>0 функция t+s²/t+b имеет минимум при t=s; на левой ветви t<0 она имеет максимум при t=−s. Концы t=s/2 и t=2s дают одинаковое значение 5s/2 (с соответствующим знаком). Укажите все глобальные точки достижения — они могут быть двумя концами одновременно.

16. Рассмотрите f(x)=(x−(0))+4/(x−(0))+(1) на [1;4], x≠0. Найдите внутренний локальный экстремум, абсолютные значения и все точки, где они достигаются.
17. Рассмотрите f(x)=(x−(1))+16/(x−(1))+(-3) на [-7;-1], x≠1. Найдите внутренний локальный экстремум, абсолютные значения и все точки, где они достигаются.
18. Рассмотрите f(x)=(x−(-2))+36/(x−(-2))+(2) на [1;10], x≠-2. Найдите внутренний локальный экстремум, абсолютные значения и все точки, где они достигаются.
19. Рассмотрите f(x)=(x−(3))+4/(x−(3))+(-1) на [-1;2], x≠3. Найдите внутренний локальный экстремум, абсолютные значения и все точки, где они достигаются.
20. Рассмотрите f(x)=(x−(-4))+16/(x−(-4))+(0) на [-2;4], x≠-4. Найдите внутренний локальный экстремум, абсолютные значения и все точки, где они достигаются.
21. Рассмотрите f(x)=(x−(5))+36/(x−(5))+(3) на [-7;2], x≠5. Найдите внутренний локальный экстремум, абсолютные значения и все точки, где они достигаются.
22. Рассмотрите f(x)=(x−(2))+64/(x−(2))+(-2) на [6;18], x≠2. Найдите внутренний локальный экстремум, абсолютные значения и все точки, где они достигаются.

Полный ключ с объяснениями

Ответы 1–8: полюс разрывает область

1. f′=1−4/(x−(0))². Локальный максимум при x=-2, значение -4; локальный минимум при x=2, значение 4. При x→0− значение стремится к −∞, при x→0+ к +∞. Поэтому ни глобального минимума, ни глобального максимума на заданной области нет, несмотря на два локальных экстремума.
2. f′=1−1/(x−(2))². Локальный максимум при x=1, значение 1; локальный минимум при x=3, значение 5. При x→2− значение стремится к −∞, при x→2+ к +∞. Поэтому ни глобального минимума, ни глобального максимума на заданной области нет, несмотря на два локальных экстремума.
3. f′=1−9/(x−(-3))². Локальный максимум при x=-6, значение -8; локальный минимум при x=0, значение 4. При x→-3− значение стремится к −∞, при x→-3+ к +∞. Поэтому ни глобального минимума, ни глобального максимума на заданной области нет, несмотря на два локальных экстремума.
4. f′=1−16/(x−(1))². Локальный максимум при x=-3, значение -7; локальный минимум при x=5, значение 9. При x→1− значение стремится к −∞, при x→1+ к +∞. Поэтому ни глобального минимума, ни глобального максимума на заданной области нет, несмотря на два локальных экстремума.
5. f′=1−4/(x−(-2))². Локальный максимум при x=-4, значение 1; локальный минимум при x=0, значение 9. При x→-2− значение стремится к −∞, при x→-2+ к +∞. Поэтому ни глобального минимума, ни глобального максимума на заданной области нет, несмотря на два локальных экстремума.
6. f′=1−9/(x−(4))². Локальный максимум при x=1, значение -7; локальный минимум при x=7, значение 5. При x→4− значение стремится к −∞, при x→4+ к +∞. Поэтому ни глобального минимума, ни глобального максимума на заданной области нет, несмотря на два локальных экстремума.
7. f′=1−1/(x−(5))². Локальный максимум при x=4, значение 0; локальный минимум при x=6, значение 4. При x→5− значение стремится к −∞, при x→5+ к +∞. Поэтому ни глобального минимума, ни глобального максимума на заданной области нет, несмотря на два локальных экстремума.
8. f′=1−16/(x−(-1))². Локальный максимум при x=-5, значение -11; локальный минимум при x=3, значение 5. При x→-1− значение стремится к −∞, при x→-1+ к +∞. Поэтому ни глобального минимума, ни глобального максимума на заданной области нет, несмотря на два локальных экстремума.

Ответы 9–15: выколотая точка после сокращения

9. После сокращения g(x)=x+(1), но x=1 не возвращается в область определения. Функция возрастает: минимум -1 при x=-2; максимум 4 при x=3. Внутренних локальных экстремумов нет. Важно отличать границу от достигаемого значения.
10. После сокращения g(x)=x+(2), но x=2 не возвращается в область определения. Функция возрастает: минимум 2 при x=0; максимум 7 при x=5. Внутренних локальных экстремумов нет. Важно отличать границу от достигаемого значения.
11. После сокращения g(x)=x+(-1), но x=-1 не возвращается в область определения. Функция возрастает: минимум -4 при x=-3; максимум 1 при x=2. Внутренних локальных экстремумов нет. Важно отличать границу от достигаемого значения.
12. После сокращения g(x)=x+(0), но x=0 не возвращается в область определения. Функция возрастает: минимум -2 при x=-2; максимум 4 при x=4. Внутренних локальных экстремумов нет. Важно отличать границу от достигаемого значения.
13. После сокращения g(x)=x+(1), но x=1 не возвращается в область определения. Функция возрастает: минимум не достигается, inf=2; максимум 6 при x=5. Внутренних локальных экстремумов нет. Важно отличать границу от достигаемого значения.
14. После сокращения g(x)=x+(3), но x=3 не возвращается в область определения. Функция возрастает: минимум 2 при x=-1; максимум не достигается, sup=6. Внутренних локальных экстремумов нет. Важно отличать границу от достигаемого значения.
15. После сокращения g(x)=x+(-2), но x=-2 не возвращается в область определения. Функция возрастает: минимум не достигается, inf=-4; максимум 0 при x=2. Внутренних локальных экстремумов нет. Важно отличать границу от достигаемого значения.

Ответы 16–22: допустимая ветвь

16. На заданном отрезке полюса нет. f′(x)=1−4/(x−(0))², критическая точка x=2. Глобальный минимум 5 при x=2; глобальный максимум 6 при x=1 и x=4. Внутренний локальный минимум совпадает с абсолютным. Для проверки вычислите значения на обоих концах.
17. На заданном отрезке полюса нет. f′(x)=1−16/(x−(1))², критическая точка x=-3. Глобальный максимум -11 при x=-3; глобальный минимум -13 при x=-7 и x=-1. Внутренний локальный максимум совпадает с абсолютным. Для проверки вычислите значения на обоих концах.
18. На заданном отрезке полюса нет. f′(x)=1−36/(x−(-2))², критическая точка x=4. Глобальный минимум 14 при x=4; глобальный максимум 17 при x=1 и x=10. Внутренний локальный минимум совпадает с абсолютным. Для проверки вычислите значения на обоих концах.
19. На заданном отрезке полюса нет. f′(x)=1−4/(x−(3))², критическая точка x=1. Глобальный максимум -5 при x=1; глобальный минимум -6 при x=-1 и x=2. Внутренний локальный максимум совпадает с абсолютным. Для проверки вычислите значения на обоих концах.
20. На заданном отрезке полюса нет. f′(x)=1−16/(x−(-4))², критическая точка x=0. Глобальный минимум 8 при x=0; глобальный максимум 10 при x=-2 и x=4. Внутренний локальный минимум совпадает с абсолютным. Для проверки вычислите значения на обоих концах.
21. На заданном отрезке полюса нет. f′(x)=1−36/(x−(5))², критическая точка x=-1. Глобальный максимум -9 при x=-1; глобальный минимум -12 при x=-7 и x=2. Внутренний локальный максимум совпадает с абсолютным. Для проверки вычислите значения на обоих концах.
22. На заданном отрезке полюса нет. f′(x)=1−64/(x−(2))², критическая точка x=10. Глобальный минимум 14 при x=10; глобальный максимум 18 при x=6 и x=18. Внутренний локальный минимум совпадает с абсолютным. Для проверки вычислите значения на обоих концах.

Три проверки перед окончательным ответом

Во-первых, запишите исключённые значения аргумента ещё до сокращения дробей и до дифференцирования. Во-вторых, у каждого внутреннего экстремума проверьте знак производной по разные стороны: нуль производной без изменения знака не обязан быть экстремумом. В-третьих, уточните, идёт ли речь о глобальном значении на всей исходной области либо только на отдельной компоненте: это разные утверждения.

При разрыве первого рода иногда достаточно изучить выколотую точку как предел; при вертикальной асимптоте потребуются односторонние пределы с бесконечными значениями. Отдельное правило: если сокращённая функция возрастает и один конец выколот, супремум или инфимум может существовать, но соответствующий максимум или минимум не достигается. Слова «верхняя грань» и «наибольшее значение» поэтому не взаимозаменяемы.

Учителю для проверки: в первых восьми задачах наличие двух локальных экстремумов не означает существования глобальных; в следующих семи оценивается внимание к исходному ОДЗ; в последних семи используется симметрия значений t+s²/t в точках t=s/2 и t=2s. Таким образом, все три уровня проверяют одну конкретную компетенцию — правильное сравнение локального и глобального экстремума с учётом разрыва, но требуют разных логических действий.