Сравнение локального и глобального оптимума при наличии граничных значений: мини-практикум с ответами, 11 класс

Математика · 11 класс. Анализ пяти типичных ошибок и 10 новых задач для самостоятельной проверки.

Начните с неверных решений — задания 1–5

Каждая запись ниже выглядит правдоподобно, но содержит конкретную ошибку: неверно назван тип экстремума, пропущена граница или внутренний максимум принят за абсолютный. Исправьте не только итоговое число, но и математический шаг. Во всех задачах сравниваются значения на замкнутом отрезке. На этом листе локальными внутренними точками называют те, у которых определена двусторонняя окрестность в рассматриваемом промежутке.

1. Неверный вывод: Для f(x)=x² на [−1;2] производная равна нулю при 0, поэтому максимум равен 0. Найдите противоречие и составьте короткое корректное решение.
2. Неверный вывод: Для f(x)=−(x−2)²+5 на [0;4] минимум равен 5, потому что это значение в вершине. Найдите противоречие и составьте короткое корректное решение.
3. Неверный вывод: Для f(x)=x³−3x на [−2;2] обе граничные точки можно не проверять: производная даёт ±1. Найдите противоречие и составьте короткое корректное решение.
4. Неверный вывод: Если функция непрерывна на [1;3], её локальный максимум в точке x=2 обязательно больше значений на концах. Найдите противоречие и составьте короткое корректное решение.
5. Неверный вывод: Для f(x)=3x+1 на [0;2] нет критических точек, значит нет ни максимума, ни минимума. Найдите противоречие и составьте короткое корректное решение.

Самостоятельная диагностика границ — задания 6–15

Для каждой функции заполните в тетради три клетки «левая граница — внутренняя критическая точка — правая граница». При совпадении значений укажите все подходящие точки. Оценка: за правильное сравнение трёх значений — один балл, за описание локального экстремума — ещё один.

6. Функция f(x)=1·(x−(-1))²+(2) на [-3;3]. Найдите внутренний локальный экстремум и глобальные минимум/максимум. Какую ошибку сделает ученик, если проверит только вершину?
7. Функция f(x)=-1·(x−(2))²+(4) на [-1;5]. Найдите внутренний локальный экстремум и глобальные минимум/максимум. Какую ошибку сделает ученик, если проверит только вершину?
8. Функция f(x)=1·(x−(3))²+(-2) на [0;5]. Найдите внутренний локальный экстремум и глобальные минимум/максимум. Какую ошибку сделает ученик, если проверит только вершину?
9. Функция f(x)=-1·(x−(-2))²+(3) на [-3;2]. Найдите внутренний локальный экстремум и глобальные минимум/максимум. Какую ошибку сделает ученик, если проверит только вершину?
10. Функция f(x)=1·(x−(0))²+(1) на [-4;2]. Найдите внутренний локальный экстремум и глобальные минимум/максимум. Какую ошибку сделает ученик, если проверит только вершину?
11. Функция f(x)=-1·(x−(1))²+(0) на [0;4]. Найдите внутренний локальный экстремум и глобальные минимум/максимум. Какую ошибку сделает ученик, если проверит только вершину?
12. Функция f(x)=1·(x−(2))²+(-3) на [-2;3]. Найдите внутренний локальный экстремум и глобальные минимум/максимум. Какую ошибку сделает ученик, если проверит только вершину?
13. Функция f(x)=-1·(x−(0))²+(-2) на [-3;5]. Найдите внутренний локальный экстремум и глобальные минимум/максимум. Какую ошибку сделает ученик, если проверит только вершину?
14. Функция f(x)=1·(x−(-3))²+(2) на [-4;1]. Найдите внутренний локальный экстремум и глобальные минимум/максимум. Какую ошибку сделает ученик, если проверит только вершину?
15. Функция f(x)=-1·(x−(3))²+(2) на [1;6]. Найдите внутренний локальный экстремум и глобальные минимум/максимум. Какую ошибку сделает ученик, если проверит только вершину?

Ключ с объяснением

Исправление пяти неверных рассуждений

1. В x=0 находится внутренний минимум 0. На границах f(−1)=1, f(2)=4, глобальный максимум 4 при x=2.
2. В вершине x=2 достигается максимум 5; на границах f(0)=f(4)=1, глобальный минимум 1 в двух точках.
3. На границах f(−2)=−2, f(2)=2, что равно одному из внутренних экстремальных значений. Укажите все точки достижения.
4. Локальный характер описывает окрестность точки, не весь отрезок. Например, f(x)=x³−3x на [−2;3] имеет внутренний максимум 2 при x=−1, но f(3)=18.
5. На замкнутом отрезке минимум 1 достигается при x=0, максимум 7 при x=2; внутренние критические точки необязательны.

Разбор самостоятельных задач 6–15

6. f(-3)=6, f(-1)=2, f(3)=18. Внутренний локальный минимум в x=-1; абсолютный минимум 2 при x=-1, максимум 18 при x=3. Только вершины недостаточно.
7. f(-1)=-5, f(2)=4, f(5)=-5. Внутренний локальный максимум в x=2; абсолютный минимум -5 при x=-1, 5, максимум 4 при x=2. Только вершины недостаточно.
8. f(0)=7, f(3)=-2, f(5)=2. Внутренний локальный минимум в x=3; абсолютный минимум -2 при x=3, максимум 7 при x=0. Только вершины недостаточно.
9. f(-3)=2, f(-2)=3, f(2)=-13. Внутренний локальный максимум в x=-2; абсолютный минимум -13 при x=2, максимум 3 при x=-2. Только вершины недостаточно.
10. f(-4)=17, f(0)=1, f(2)=5. Внутренний локальный минимум в x=0; абсолютный минимум 1 при x=0, максимум 17 при x=-4. Только вершины недостаточно.
11. f(0)=-1, f(1)=0, f(4)=-9. Внутренний локальный максимум в x=1; абсолютный минимум -9 при x=4, максимум 0 при x=1. Только вершины недостаточно.
12. f(-2)=13, f(2)=-3, f(3)=-2. Внутренний локальный минимум в x=2; абсолютный минимум -3 при x=2, максимум 13 при x=-2. Только вершины недостаточно.
13. f(-3)=-11, f(0)=-2, f(5)=-27. Внутренний локальный максимум в x=0; абсолютный минимум -27 при x=5, максимум -2 при x=0. Только вершины недостаточно.
14. f(-4)=3, f(-3)=2, f(1)=18. Внутренний локальный минимум в x=-3; абсолютный минимум 2 при x=-3, максимум 18 при x=1. Только вершины недостаточно.
15. f(1)=-2, f(3)=2, f(6)=-7. Внутренний локальный максимум в x=3; абсолютный минимум -7 при x=6, максимум 2 при x=3. Только вершины недостаточно.

Итоговая самопроверка

Внутренняя точка экстремума отвечает на вопрос «лучшее ли значение в достаточно малой окрестности?». Глобальный максимум или минимум сравнивает все допустимые аргументы. На замкнутом промежутке у непрерывной функции граничные значения обязательно участвуют в сравнении, но они не обязательно совпадают с экстремумом на всей прямой. Это различие — главное умение карточки.

Если найден локальный минимум, не делайте автоматический вывод, что функция не может иметь на другом конце ещё меньшее значение: при сложной функции возможны несколько внутренних критических точек и различные уровни значения. В этом листе квадратные функции удобны для диагностики единственного стационарного аргумента, но метод по-прежнему требует проверки обоих концов. При повторении стоит заменить одну функцию на кубическую и проверить общий принцип.