Сравнение локального и глобального оптимума в задаче с неотрицательными переменными — самостоятельная работа, 11 класс

Математика · 11 класс. Практическая модель прямоугольной площадки: таблица измерений и 13 связанных задач с решениями.

Прикладная ситуация: проект школьного участка

Школьный кружок моделирует прямоугольную площадку. Под ограждение выделено 40 метров, поэтому для двух неотрицательных сторон x и y выполняется 2x+2y=40, то есть x+y=20. Площадь A=xy измеряется в квадратных метрах. В математической модели допускаются x=0 и y=0 как вырожденные границы допустимой области; для реального огороженного прямоугольника потребуются строго положительные стороны. Разница между этими двумя ограничениями меняет существование минимума.

Связь двух переменных выражается формулой y=20−x, 0≤x≤20. Подстановка приводит к функции A(x)=x(20−x)=100−(x−10)². Этот вид одновременно даёт возможный глобальный максимум и показывает, что по мере удаления x от 10 площадь уменьшается. Но термин «локальный оптимум» относится к допустимым малым изменениям x и y, сохраняющим общее ограничение; нельзя независимым образом изменять обе стороны, игнорируя постоянный периметр.

Исходная таблица для эксперимента

Все значения таблицы получаются прямым умножением неотрицательных сторон. Она помогает проверить вывод по графику параболы, но не заменяет аналитического обоснования: число вариантов в таблице конечно, а множество допустимых x — весь отрезок.

Связанные задания: от наблюдения к оптимизации

В вопросах 1–9 работайте с одним и тем же ограждением. В вопросах 10–11 учитывайте дополнительные ограничения, которые сужают множество допустимых решений. Вопросы 12–13 относятся ко второму проекту, где стоимость материала на одну сторону отличается. После каждого вывода проверяйте, не нарушает ли предложенная точка заданные неравенства.

1. Выведите из условия периметра формулу y через x. Почему нельзя рассматривать x и y как независимые переменные?
2. Установите допустимый диапазон для x и y, если математическая модель допускает нулевые значения сторон.
3. Запишите площадь как функцию одной переменной. Преобразуйте её к виду с полным квадратом.
4. Найдите по таблице площади при x=0, x=4, x=10, x=16 и x=20. Поясните нули на концах.
5. Почему при x=4 и x=16 площади равны? Покажите это без отдельного вычисления каждого произведения.
6. Найдите производную A′(x), её критическую точку и знак до и после этой точки.
7. Найдите глобальные максимум и минимум площади на закрытом отрезке 0≤x≤20; укажите все точки достижения.
8. Назовите внутренний локальный экстремум. Может ли граничное значение 0 быть локальным минимумом относительно допустимого отрезка при одностороннем определении?
9. Измените физическое условие на x>0 и y>0. Остаётся ли глобальный минимум? Запишите инфимум и объясните, почему он не достигается.
10. Требуется x≥4 и y≥6 при том же периметре. Найдите допустимый диапазон x, абсолютный максимум и минимум площади и их точки.
11. Если установлено дополнительно условие x=2y, найдите обе стороны и площадь. Сравните с наилучшим проектом без этого условия.
12. Для другого плана есть ограничение 2x+y=24 и x,y≥0. Запишите площадь P(x), найдите её абсолютные минимум и максимум с точками достижения.
13. Вторая модель 2x+y=24 запрещает x=0 или y=0 (реальные стороны должны быть положительными). Существует ли в этом случае минимальная площадь? Сравните с результатом задания 12.

Полные ответы с проверкой

1. 2x+2y=40 ⇒ x+y=20 ⇒ y=20−x. Выбор x уже однозначно определяет y, поэтому они связаны линейным ограничением.
2. x≥0, y=20−x≥0 ⇒ 0≤x≤20. Аналогично 0≤y≤20. Границы включены только в принятой математической модели.
3. A(x)=x(20−x)=20x−x²=100−(x−10)². Коэффициент квадрата отрицателен, поэтому вершина даёт максимум.
4. A(0)=0, A(4)=64, A(10)=100, A(16)=64, A(20)=0 м². Нулевая сторона означает вырожденную фигуру.
5. Две стороны меняются местами: (4;16) и (16;4). Кроме того, значения x=4 и x=16 равноудалены от оси симметрии x=10.
6. A′(x)=20−2x; до 10 производная положительна, при 10 равна нулю, после 10 отрицательна. Значит x=10 — внутренний локальный максимум.
7. На [0;20] абсолютный максимум A=100 м² достигается при x=y=10; минимум 0 м² при (x;y)=(0;20) и (20;0).
8. Внутри области локальный максимум при (10;10) с площадью 100. По одностороннему определению на допустимом отрезке оба конца также являются локальными минимумами, но не внутренними критическими точками.
9. При 0<x<20 величина A=x(20−x) строго положительна. Можно брать x всё ближе к 0 или 20, и A→0. Инфимум 0, но минимума нет.
10. x≥4 и y≥6 ⇒ 4≤x≤14. A(4)=64, A(14)=84, A(10)=100. Минимум 64 при (4;16), максимум 100 при (10;10).
11. x=2y и x+y=20 ⇒ 3y=20, y=20/3 м, x=40/3 м, A=800/9 м² (≈88,89), что меньше оптимальных 100 м².
12. y=24−2x, 0≤x≤12. P(x)=x(24−2x)=72−2(x−6)². Глобальный максимум 72 при (x;y)=(6;12); минимум 0 при (0;24) и (12;0).
13. При 0<x<12 площадь P(x)>0; значение 0 только предел при приближении к границам. Минимума нет, хотя инфимум 0 и максимум 72 по-прежнему достигается при (6;12).

Что считается локальным, а что глобальным решением

Локальный максимум площади при x=10 подтверждается знаком производной и сравнением с близкими допустимыми значениями. Глобальный максимум подтверждается сильнее: формула 100−(x−10)²≤100 верна для любого допустимого x. Это два разных уровня доказательства, хотя в этом конкретном примере они приводят к одной паре сторон.

У неотрицательных переменных граница x=0 не является недопустимой сама по себе: её допустимость зависит от текста условия. Если математически разрешён ноль, на закрытом ограниченном отрезке минимальная площадь 0 действительно достигается. Если речь о реально существующей прямоугольной площадке и стороны обязаны быть положительными, это решение исключается; положительные площади могут приближаться к нулю, но значение 0 не достигается. Не следует заменять эти два вывода одной общей фразой «минимум при нуле».

В проекте с ограничением 2x+y=24 коэффициенты модели отличаются от исходного периметра, поэтому переносить прежний максимум 100 нельзя. Ученик должен сначала решить ограничение относительно y, проверить область допустимых x и только потом исследовать новую функцию площади. Ответ, полученный без перепроверки единиц, размеров и границ, нельзя считать полным.