Сравнение медианы двух выборок одинакового размера — задания на закрепление, 8 класс
Содержание статьи10 разделов
Как сравнить две медианы: четыре пограничных случая
При одинаковой длине рядов сначала упорядочите каждый ряд отдельно. Для нечётного числа наблюдений медиана — средний член, для чётного — полусумма двух центральных. Равный размер выборок не означает одинаковые медианы и не разрешает объединить данные перед сравнением. Выброс может сильно менять среднее, но не всегда меняет медиану.
- Для пяти чисел 2, 7, 4, 9, 5 отсортированный ряд 2, 4, 5, 7, 9; медиана 5.
- Для шести чисел 1, 3, 8, 8, 10, 12: медиана (8 + 8)/2 = 8.
- Для выборок одинаковой длины 1, 2, 3, 4, 90 и 1, 2, 3, 4, 5 обе медианы 3, хотя средние очень различны.
- При нулевом числе наблюдений медиана не определена. В этой работе все ряды непустые.
Как выполнять работу без лишних вычислений
На первом уровне не ищите сумму всех элементов: для медианы это лишнее действие. На втором уровне обязательно выделяйте две позиции в середине ряда. На третьем уровне обращайте внимание на повторяющиеся числа и на то, что одна выборка может содержать 100, тогда как другая — только числа меньше 10. Сравнивать требуется именно медианы, а не средние и не максимумы.
Записывайте ответ в форме «медиана А = …; медиана Б = …; больше …», а когда они равны — явно ставьте знак равенства. Для отрицательных чисел алгоритм не меняется; в предлагаемых задачах числа неотрицательные, поэтому специального правила знаков не потребуется.
Уровень 1 — по пять наблюдений
- № 1. А: 3, 6, 9, 4, 7; Б: 1, 8, 5, 2, 4. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 2. А: 10, 12, 14, 11, 13; Б: 3, 5, 7, 9, 11. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 3. А: 0, 1, 0, 2, 3; Б: 1, 1, 1, 1, 1. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 4. А: 6, 6, 6, 9, 2; Б: 4, 7, 5, 6, 8. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 5. А: 17, 13, 19, 15, 11; Б: 16, 20, 14, 18, 12. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 6. А: 5, 0, 5, 0, 5; Б: 1, 2, 3, 4, 5. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 7. А: 8, 7, 6, 5, 4; Б: 8, 8, 9, 9, 7. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 8. А: 21, 23, 25, 27, 29; Б: 20, 24, 26, 28, 30. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
Уровень 2 — два центральных числа
- № 9. А: 4, 6, 10, 12, 2, 8; Б: 5, 7, 9, 11, 13, 15. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 10. А: 12, 14, 16, 18, 20, 22; Б: 10, 12, 14, 16, 18, 20. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 11. А: 2, 2, 4, 4, 6, 6; Б: 2, 3, 4, 5, 6, 7. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 12. А: 11, 13, 15, 17, 19, 21; Б: 12, 14, 16, 18, 20, 22. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 13. А: 1, 3, 5, 7, 9, 11; Б: 0, 2, 4, 6, 8, 10. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 14. А: 6, 9, 3, 8, 5, 7; Б: 10, 4, 8, 2, 6, 12. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 15. А: 100, 1, 2, 3, 4, 5; Б: 5, 4, 3, 2, 1, 0. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 16. А: 15, 15, 15, 15, 15, 15; Б: 12, 13, 14, 16, 17, 18. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
Уровень 3 — выбросы, повторы и равенство
- № 17. А: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14; Б: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 18. А: 9, 1, 9, 1, 9, 1, 9; Б: 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 19. А: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70; Б: 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 20. А: 5, 5, 5, 5, 30, 31, 32; Б: 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 21. А: 0, 0, 1, 1, 2, 2, 100; Б: 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 22. А: 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0; Б: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 23. А: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6; Б: 3, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 6. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
- № 24. А: 20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6; Б: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Какая медиана больше? А: _____, Б: _____.
Алгоритм: именно два отдельных центра
Пусть А = 9, 2, 6, 4, 12, 5, а Б = 5, 5, 7, 9, 1, 3. В обоих наборах шесть наблюдений. Сортируем: А → 2, 4, 5, 6, 9, 12; Б → 1, 3, 5, 5, 7, 9. Для А средние значения 5 и 6 дают 5,5; для Б — 5 и 5, медиана 5. Значит, медиана А выше на 0,5. Неважно, что обе выборки содержат шесть наблюдений и совпадают отдельными числами: медиана определяется срединной парой именно после сортировки.
Число, резко отличающееся от остальных, часто называют выбросом. Например, если в пятичленном наборе 3, 4, 5, 6, 7 заменить 7 на 700, медиана останется 5. Но если изменить центральное значение, медиана может переместиться. Поэтому слепое правило «медиана никогда не меняется от выброса» неверно: проверяйте порядок элементов в каждом конкретном ряду.
Таблица проверки — все 24 ответа
| № | Медиана А | Медиана Б | Сравнение |
|---|---|---|---|
| 1 | 6 | 4 | А больше |
| 2 | 12 | 7 | А больше |
| 3 | 1 | 1 | равны |
| 4 | 6 | 6 | равны |
| 5 | 15 | 16 | Б больше |
| 6 | 5 | 3 | А больше |
| 7 | 6 | 8 | Б больше |
| 8 | 25 | 26 | Б больше |
| 9 | 7 | 10 | Б больше |
| 10 | 17 | 15 | А больше |
| 11 | 4 | 4,5 | Б больше |
| 12 | 16 | 17 | Б больше |
| 13 | 6 | 5 | А больше |
| 14 | 6,5 | 7 | Б больше |
| 15 | 3,5 | 2,5 | А больше |
| 16 | 15 | 15 | равны |
| 17 | 8 | 7 | А больше |
| 18 | 9 | 7 | А больше |
| 19 | 40 | 41 | Б больше |
| 20 | 5 | 8 | Б больше |
| 21 | 1 | 1 | равны |
| 22 | 7 | 8 | Б больше |
| 23 | 4 | 4,5 | Б больше |
| 24 | 13 | 12 | А больше |
Отсортированные ряды для самостоятельной сверки
Используйте таблицу, если ваш результат не совпал с ключом. При нечётной длине выбирайте одну центральную позицию, при чётной — усредняйте две центральные.
| № | А по возрастанию | Б по возрастанию |
|---|---|---|
| 1 | 3,4,6,7,9 | 1,2,4,5,8 |
| 2 | 10,11,12,13,14 | 3,5,7,9,11 |
| 3 | 0,0,1,2,3 | 1,1,1,1,1 |
| 4 | 2,6,6,6,9 | 4,5,6,7,8 |
| 5 | 11,13,15,17,19 | 12,14,16,18,20 |
| 6 | 0,0,5,5,5 | 1,2,3,4,5 |
| 7 | 4,5,6,7,8 | 7,8,8,9,9 |
| 8 | 21,23,25,27,29 | 20,24,26,28,30 |
| 9 | 2,4,6,8,10,12 | 5,7,9,11,13,15 |
| 10 | 12,14,16,18,20,22 | 10,12,14,16,18,20 |
| 11 | 2,2,4,4,6,6 | 2,3,4,5,6,7 |
| 12 | 11,13,15,17,19,21 | 12,14,16,18,20,22 |
| 13 | 1,3,5,7,9,11 | 0,2,4,6,8,10 |
| 14 | 3,5,6,7,8,9 | 2,4,6,8,10,12 |
| 15 | 1,2,3,4,5,100 | 0,1,2,3,4,5 |
| 16 | 15,15,15,15,15,15 | 12,13,14,16,17,18 |
| 17 | 2,4,6,8,10,12,14 | 1,3,5,7,9,11,13 |
| 18 | 1,1,1,9,9,9,9 | 7,7,7,7,7,7,7 |
| 19 | 10,20,30,40,50,60,70 | 11,21,31,41,51,61,71 |
| 20 | 5,5,5,5,30,31,32 | 4,6,7,8,9,10,11 |
| 21 | 0,0,1,1,2,2,100 | 0,0,1,1,2,2,3 |
| 22 | 0,2,4,6,8,10,12,14 | 1,3,5,7,9,11,13,15 |
| 23 | 2,3,3,4,4,5,5,6 | 3,3,3,3,6,6,6,6 |
| 24 | 6,8,10,12,14,16,18,20 | 5,7,9,11,13,15,17,19 |
Почему выброс не означает большой медианы
В упражнении № 15 первое наблюдение 100 кажется определяющим, однако после сортировки шести чисел А получаем 1, 2, 3, 4, 5, 100. Центральная пара — 3 и 4, а не 5 и 100; медиана равна 3,5. Для Б отсортированный ряд равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, поэтому медиана Б = (2 + 3)/2 = 2,5. Значит медиана А больше на 1. Большое крайнее число влияет на среднее и размах А, но не превращает медиану в очень большое число. Это хороший пример того, как медиана защищает описание типичных значений от отдельного большого результата.
В упражнениях № 21 и 22 следует различать два вида устойчивости. Если заменить крайний элемент очень большим, порядок первых центральных элементов может остаться прежним. А если добавить или убрать наблюдение, размер ряда изменится и центральная позиция сдвинется: такая операция уже способна изменить медиану даже при добавлении числа на самом краю. В этой работе все пары имеют заранее заданный одинаковый размер, и никакие элементы добавлять нельзя.
Упражнение № 23 содержит повторы: в одной выборке центральные позиции могут содержать разные числа, а в другой — совпадающие. Полусумма равных чисел равна этому числу, но всё равно нужно показать, какие именно две позиции выбраны. В упражнении № 24 оба ряда содержат по восемь чисел и расположены примерно симметрично. Отдельно отсортируйте каждый, отметьте четвёртый и пятый элементы, найдите полусумму и только после этого сравните.
Полный разбор заданий повышенного уровня
№ 15. А после сортировки: 1, 2, 3, 4, 5, 100; Б: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Для А берём (3 + 4)/2 = 3,5, для Б — (2 + 3)/2 = 2,5. Итог: А больше.
№ 20. А после сортировки: 5, 5, 5, 5, 30, 31, 32; Б: 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Для А берём центральное 5 = 5, для Б — центральное 8 = 8. Итог: Б больше.
№ 21. А после сортировки: 0, 0, 1, 1, 2, 2, 100; Б: 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3. Для А берём центральное 1 = 1, для Б — центральное 1 = 1. Итог: равны.
№ 22. А после сортировки: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14; Б: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Для А берём (6 + 8)/2 = 7, для Б — (7 + 9)/2 = 8. Итог: Б больше.
№ 23. А после сортировки: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6; Б: 3, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 6. Для А берём (4 + 4)/2 = 4, для Б — (3 + 6)/2 = 4,5. Итог: Б больше.
№ 24. А после сортировки: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20; Б: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Для А берём (12 + 14)/2 = 13, для Б — (11 + 13)/2 = 12. Итог: А больше.
Самопроверка: в каждой паре одинаковое число наблюдений, но сортировка производится раздельно. Медиана не обязана совпадать со средним; один очень большой показатель справа не определяет результат сравнения.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.