Сравнение наклонной и перпендикуляра к прямой — карточки с ответами, 7 класс

Пусть A — точка вне прямой l, H — основание перпендикуляра AH, а B — другая точка прямой. Тогда AB — наклонная. В прямоугольном треугольнике AHB гипотенуза AB больше катета AH: AB > AH при B ≠ H. Отсюда перпендикуляр — кратчайший путь от точки до прямой.

Три разобранных примера

1. № 1. AH = 7 см, AB = 10 см. Какой отрезок короче?

   Разбор: AH короче на 3 см, потому что 10 − 7 = 3. Наклонная AB — гипотенуза прямоугольного треугольника AHB.

2. № 2. Точки B и C лежат по разные стороны от H; HB = HC. Сравните AB и AC.

   Разбор: Они равны: прямоугольные треугольники AHB и AHC имеют общую сторону AH и равные вторые катеты HB и HC.

3. № 3. Можно ли провести из A к l наклонную длиной 4 см, если AH = 5 см?

   Разбор: Нельзя. Любая наклонная к l строго длиннее перпендикуляра: AB > 5 см.

Задачи с частичными подсказками

1. № 4. AH = 6 см, AB = 9 см. На сколько перпендикуляр короче? Подсказка: Вычтите длины в одинаковых единицах.
2. № 5. Длина AH равна 8 мм. Может ли AC = 8 мм быть наклонной к прямой? Подсказка: Для наклонной C ≠ H.
3. № 6. Наклонная AF имеет длину 11 см. Какие из чисел 9, 11, 13 см могут быть длиной перпендикуляра AH? Подсказка: Сравните AH с AF; F ≠ H.
4. № 7. Найдите нижнюю границу наклонной AE, если AH = 4,2 см. Подсказка: Не подменяйте строгий знак знаком нестрогого.
5. № 8. AH = 3 см, HB = 4 см, HC = 4 см. Сравните AB и AC. Подсказка: Сравните прямоугольные треугольники.
6. № 9. AH = 5 см, HB = 2 см, HC = 6 см. Какая наклонная длиннее: AB или AC? Подсказка: В обоих треугольниках AH общий, сравните другие катеты.
7. № 10. Может ли AH = 7 см, AB = 6 см, если B ∈ l, H — основание, B ≠ H? Подсказка: Наклонная — гипотенуза.
8. № 11. Перпендикуляр равен 12 мм, наклонная равна 1,5 см. На сколько наклонная длиннее? Подсказка: Сначала переведите сантиметры в миллиметры.
9. № 12. AB и AC — наклонные из A к l; HB = HC. Обязаны ли B и C лежать по разные стороны от H? Подсказка: На прямой ровно две точки на данном положительном расстоянии от H.
10. № 13. Для точки P и прямой m ученик выбрал наклонную PR = 14 см как «расстояние»; PH ⟂ m и PH = 10 см. Исправьте ответ. Подсказка: Укажите основание.
11. № 14. Два отрезка AK = 9 см и AL = 10 см идут к прямой l; известно, что AL ⟂ l, K ≠ L. Возможно ли это? Подсказка: AL должен быть кратчайшим.
12. № 15. На рисунке AH ⟂ l; точки B и C на l, HB = 7 мм, HC = 9 мм. Что длиннее AB или AC и почему? Подсказка: Сравните треугольники с общим катетом.

Решения по шагам: № 4–15

4. На 3 см: 9 − 6 = 3.
5. Нет: наклонная строго длиннее 8 мм; равенство бывает при C = H, когда AC — сам перпендикуляр.
6. Только 9 см: AH < 11 см.
7. AE > 4,2 см (для E ≠ H); наименьшего значения строго среди всех наклонных нет, можно приближаться к 4,2 см.
8. AB = AC: оба треугольника имеют равные катеты AH и HB = HC.
9. AC > AB: при одинаковом AH большему отрезку основания HC соответствует большая гипотенуза.
10. Нет: гипотенуза AB не может быть короче AH.
11. На 3 мм: 1,5 см = 15 мм, 15 − 12 = 3 мм.
12. Если B и C различны и HB = HC > 0, то да: они расположены по разные стороны от H; если B = C, такого вывода нет.
13. Расстояние 10 см: именно перпендикуляр PH достигает прямой по кратчайшему пути.
14. Нет: наклонная AK = 9 см не может быть короче перпендикуляра AL = 10 см.
15. AC > AB: при фиксированном AH более длинный катет HC соответствует более длинной гипотенузе.

Обоснование сравнения наклонных. Если HB < HC, то AB < AC. Это следует из сравнения прямоугольных треугольников AHB и AHC: AH общий, а вторая сторона основания больше у второго треугольника. Для 7 класса достаточно геометрического сравнения; вычислять квадратные корни не требуется.

Как обосновать сравнение без вычисления неизвестных длин

Сначала проверьте, что H принадлежит прямой и AH перпендикулярен ей. Если точка B находится на прямой, но не совпадает с H, треугольник AHB прямоугольный, а AB — сторона напротив прямого угла. Поэтому в любой геометрически возможной конфигурации AB больше AH. Если в условии записали AB = AH для разных H и B, условие противоречиво; ответ «отрезки равны» не подходит.

Равные наклонные требуют аккуратного рассуждения. Пусть B и C — точки прямой на одинаковом расстоянии от H. Треугольники AHB и AHC прямоугольные, AH общая сторона, HB = HC. Отсюда треугольники равны по двум катетам, а значит AB = AC. Обратный вывод тоже верен: если AB = AC, то точки B и C находятся на одинаковом расстоянии от H. Но утверждение «обязательно по разные стороны» требует уточнения, что точки B и C различны. Если B = C, это одна и та же наклонная.

При HB < HC получается AB < AC. Один из способов увидеть это на чертеже: проведите на большем луче от H точку B₁ с HB₁ = HB. Тогда AB₁ = AB по равенству прямоугольных треугольников, а точка C дальше по прямой. По мере удаления основания наклонной от H наклонная становится длиннее. Этот вывод полезен для качественных задач, где числовые длины AB и AC не даны.

Проверка формулировок и единиц

• Если длины даны в разных единицах, сравнивайте только после перевода: 1,5 см = 15 мм, 12 мм < 15 мм.
• Нельзя делать вывод об AB и AC, зная только значения AB и AH, если точка C никак не определена. Нужно положение C на прямой или длина HC.
• Если H совпадает с B, отрезок AB уже является перпендикуляром и не считается наклонной. Строгое неравенство относится к B ≠ H.
• Длина отрезка не бывает отрицательной. Для геометрически корректного рисунка AB ≥ AH, причём равенство возможно только при B = H.

Проверка пограничных случаев

Рассмотрите наклонную AB, когда B перемещается вдоль прямой и приближается к H, но B ещё не совпала с H. Отрезок AB остаётся длиннее AH, однако разница может становиться очень маленькой. Поэтому у множества длин наклонных есть нижняя граница AH, но нельзя указать одну «самую короткую наклонную», если не разрешено брать B = H. В момент совпадения отрезок перестаёт быть наклонной и превращается в перпендикуляр.

Когда на прямой выбраны B и C с равными расстояниями HB = HC, различайте два случая. Если B и C совпадают, равные наклонные — один и тот же отрезок. Если они различны, B и C лежат по разные стороны от H. Это уточнение часто теряется в ответах: без условия B ≠ C утверждать противоположные стороны нельзя.

Для доказательной записи сначала формулируйте геометрический факт («AH — катет, AB — гипотенуза»), а уже затем переходите к числам. Числовые данные сами по себе не доказывают, что названный отрезок действительно перпендикулярен прямой. Сильный ответ содержит и условие прямого угла, и вывод о сравнении длин.