Сравнение наклонов двух прямых для касательной параллельно заданной прямой: рабочий лист для 11 класса

Математика, 11 класс. Рабочий лист: сопоставьте направление заданной прямой и касательной к графику. Проверять надо коэффициенты при x, а для совпадения прямых ещё и свободные члены.

Цель: находить точки, где производная равна угловому коэффициенту заданной прямой; различать параллельные различные и совпадающие прямые.

Памятка для печати

Если ℓ: y=kx+d, а график задан y=f(x), то наклон касательной в точке x₀ равен f′(x₀). Условие параллельности направлений: f′(x₀)=k. Для касательной y=kx+t свободный член вычисляется как t=f(x₀)−kx₀. Если t=d, прямые совпадают; если t≠d, они параллельны и различны. Слово «параллельны» в этом листе относится и к совпадающему направлению, а совпадение мы отмечаем отдельно.

Как работать. В каждом задании найдите все x₀, удовлетворяющие условию наклона; вычислите точку касания; запишите касательную и сравните с ℓ. Для квадратичного графика ответ по x₀ единственный, но для кубического может быть две, одна или ни одной точки.

Вариант А — 9 заданий

1. График f(x)=x² − 3x + 2, прямая ℓ: y=−7x − 2. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.
2. График f(x)=2x² + x, прямая ℓ: y=5x. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.
3. График f(x)=−x² + 4x + 1, прямая ℓ: y=−2x + 13. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.
4. График f(x)=3x² − 2x + 4, прямая ℓ: y=−8x + 5. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.
5. График f(x)=−2x² − x + 3, прямая ℓ: y=−9x + 11. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.
6. График f(x)=x² + 5x − 2, прямая ℓ: y=−x − 9. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.
7. График f(x)=−3x² + 2x, прямая ℓ: y=−4x + 6. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.
8. График f(x)=2x² − 5x + 6, прямая ℓ: y=7x − 8. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.
9. График f(x)=x² − 4, прямая ℓ: y=−4. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.

Для самопроверки в варианте А полезно не ограничиваться одним числом x₀: посчитайте f(x₀) и убедитесь, что найденное уравнение прямой проходит через эту точку. Ответ «две прямые параллельны» не означает, что они непременно различны.

Вариант Б — 9 заданий

1. График f(x)=−x² + 3x + 2, прямая ℓ: y=7x + 8. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.
2. График f(x)=2x² + 2x − 1, прямая ℓ: y=10x − 9. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.
3. График f(x)=−2x² − 3x, прямая ℓ: y=−7x + 6. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.
4. График f(x)=3x² + x + 3, прямая ℓ: y=−5x + 1. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.
5. График f(x)=x² − 6x + 5, прямая ℓ: y=2x − 11. Найдите точку, где касательная имеет направление ℓ, её уравнение и укажите, совпадает ли она с ℓ.

1. Для f(x)=x³−3x найдите все касательные, параллельные прямой ℓ: y=0x+2. Укажите, сколько точек касания, и проверьте, совпадает ли какая-либо касательная с ℓ.
2. Для f(x)=x³−12x найдите все касательные, параллельные прямой ℓ: y=0x−7. Укажите, сколько точек касания, и проверьте, совпадает ли какая-либо касательная с ℓ.
3. Для f(x)=x³+3x найдите все касательные, параллельные прямой ℓ: y=0x+5. Укажите, сколько точек касания, и проверьте, совпадает ли какая-либо касательная с ℓ.
4. Для f(x)=x³−3x² найдите все касательные, параллельные прямой ℓ: y=0x+1. Укажите, сколько точек касания, и проверьте, совпадает ли какая-либо касательная с ℓ.

Подробный ключ для преподавателя

1. f′(x)=2x − 3; равенство 2x − 3=−7 даёт x₀=-2. Точка (-2; 12); касательная y=−7x − 2. Совпадает с ℓ.
2. f′(x)=4x + 1; равенство 4x + 1=5 даёт x₀=1. Точка (1; 3); касательная y=5x − 2. Имеет тот же наклон, но отличается свободным членом: прямые параллельны, не совпадают.
3. f′(x)=−2x + 4; равенство −2x + 4=−2 даёт x₀=3. Точка (3; 4); касательная y=−2x + 10. Имеет тот же наклон, но отличается свободным членом: прямые параллельны, не совпадают.
4. f′(x)=6x − 2; равенство 6x − 2=−8 даёт x₀=-1. Точка (-1; 9); касательная y=−8x + 1. Имеет тот же наклон, но отличается свободным членом: прямые параллельны, не совпадают.
5. f′(x)=−4x − 1; равенство −4x − 1=−9 даёт x₀=2. Точка (2; -7); касательная y=−9x + 11. Совпадает с ℓ.
6. f′(x)=2x + 5; равенство 2x + 5=−1 даёт x₀=-3. Точка (-3; -8); касательная y=−x − 11. Имеет тот же наклон, но отличается свободным членом: прямые параллельны, не совпадают.
7. f′(x)=−6x + 2; равенство −6x + 2=−4 даёт x₀=1. Точка (1; -1); касательная y=−4x + 3. Имеет тот же наклон, но отличается свободным членом: прямые параллельны, не совпадают.
8. f′(x)=4x − 5; равенство 4x − 5=7 даёт x₀=3. Точка (3; 9); касательная y=7x − 12. Имеет тот же наклон, но отличается свободным членом: прямые параллельны, не совпадают.
9. f′(x)=2x; равенство 2x=0 даёт x₀=0. Точка (0; -4); касательная y=−4. Совпадает с ℓ.
10. f′(x)=−2x + 3; равенство −2x + 3=7 даёт x₀=-2. Точка (-2; -8); касательная y=7x + 6. Имеет тот же наклон, но отличается свободным членом: прямые параллельны, не совпадают.
11. f′(x)=4x + 2; равенство 4x + 2=10 даёт x₀=2. Точка (2; 11); касательная y=10x − 9. Совпадает с ℓ.
12. f′(x)=−4x − 3; равенство −4x − 3=−7 даёт x₀=1. Точка (1; -5); касательная y=−7x + 2. Имеет тот же наклон, но отличается свободным членом: прямые параллельны, не совпадают.
13. f′(x)=6x + 1; равенство 6x + 1=−5 даёт x₀=-1. Точка (-1; 5); касательная y=−5x. Имеет тот же наклон, но отличается свободным членом: прямые параллельны, не совпадают.
14. f′(x)=2x − 6; равенство 2x − 6=2 даёт x₀=4. Точка (4; -3); касательная y=2x − 11. Совпадает с ℓ.
15. Условие f′(x)=0. Абсциссы: ±1; касательные y=−2 и y=2. Ни одна из найденных касательных не совпадает с ℓ.
16. Условие f′(x)=0. Абсциссы: ±2; касательные y=16 и y=−16. Ни одна из найденных касательных не совпадает с ℓ.
17. f′(x)=3x²+3>0 для любого x, значит касательных с нулевым наклоном нет.
18. Условие f′(x)=0. Абсциссы: 0 и 2; касательные y=0 и y=−4. Ни одна из найденных касательных не совпадает с ℓ.

Критерии: за каждую задачу 1 балл за правильные x₀, 1 балл за проверку наклона и 1 балл за заключение о совпадении. В кубических примерах требуется перечислить все точки: пропуск второй точки равносилен неполному решению. Последний этап не зависит от свободного члена заданной прямой: он влияет на совпадение, но не на равенство направлений.

Дополнительные пояснения к различным ответам

Почему для кубического графика часто получается две точки? Равенство производной заданному наклону может стать квадратным уравнением. Для f(x)=x³−3x и горизонтальной прямой требуется 3x²−3=0; отсюда две абсциссы: −1 и 1. Значения функции различны (2 и −2), поэтому мы получаем две разные горизонтальные касательные. Если оставить только один корень, задача решена не полностью.

В другом примере f(x)=x³+3x производная всегда положительна: 3x²+3>0 при любом действительном x. Касательной, параллельной горизонтальной прямой, здесь нет. Не существует геометрического правила, по которому любая кривая обязана иметь такую касательную; условие задаётся уравнением для производной, и его решение может быть пустым.

Контроль «совпадают или только параллельны» выполняется после нахождения касательной. Для функции f(x)=x² в точке x₀=1 получим касательную y=2x−1. Она имеет тот же наклон, что и y=2x+4, но это две различные прямые. Если в условии вместо второй прямой написано y=2x−1, линия совпадает с касательной целиком, а не только направлением. Два независимых условия — равенство наклонов и равенство свободных членов — необходимо держать отдельно.