Сравнение наклонов касательных для функции с двумя экстремумами: тематические карточки для 11 класса

11 класс. Цель: сравнивать угловые коэффициенты касательных при наличии двух экстремумов и видеть отличие нулевого наклона от расположения точки.

Наклон касательной в точке с абсциссой t равен f′(t). Сравнивать надо числа, а не «высоту» точек графика. Для двух кубических функций ниже сначала обнаружьте обе точки экстремума, затем сравните наклоны в других точках.

Вариант А — функция f(x)=x³−3x

f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1). Поэтому x=−1 — локальный максимум (переход «+» к «−»), x=1 — локальный минимум (переход «−» к «+»). Наклон касательной в обеих точках равен нулю, хотя значения f там различаются.

1. Задание 1. Сравните наклоны при x=−2 и x=0.

2. Задание 2. Равны ли наклоны в двух точках экстремума?

3. Задание 3. Найдите пару разных абсцисс с одинаковым положительным наклоном 24.

4. Задание 4. Положителен ли наклон при x=1/2?

5. Задание 5. Сравните f′(−1/2) и f′(2).

6. Задание 6. Каков наклон при x=0 и почему это не стационарная точка?

7. Задание 7. Сравните наклоны в точках с одинаковой абсолютной величиной x, например ±4.

8. Задание 8. Ученик заявил: «в точке максимума касательная всегда более крутая, чем в точке минимума». Проверьте для f.

Вариант Б — функция g(x)=−x³+12x

g′(x)=12−3x²=−3(x−2)(x+2), поэтому x=−2 — минимум, x=2 — максимум. Здесь наклоны убывают по мере роста |x|. Сравните результаты с первым вариантом: знак старшего члена меняет последовательность экстремумов.

1. Задание 9. В каких двух точках g имеет горизонтальные касательные?

2. Задание 10. Что больше, g′(0) или g′(1)?

3. Задание 11. Сравните g′(−3) и g′(3).

4. Задание 12. Укажите точки, где наклон равен 9.

5. Задание 13. Какой наклон больше: в x=−4 или x=−1?

6. Задание 14. Найдите две точки, где наклон равен −15, и интерпретируйте.

7. Задание 15. Сравните типы экстремумов f и g при положительной абсциссе.

8. Задание 16. Верно ли, что при g′(x)<0 наклон по модулю обязательно больше 12?

Разбор варианта А

1. 1. 9>−3; первый наклон больше, хотя x=−2 левее на оси.

2. 2. Да, в x=−1 и x=1 они оба равны нулю. Это не делает экстремумы одинаковыми по типу.

3. 3. x=−3 и x=3, поскольку производная зависит от x².

4. 4. Нет: f′(1/2)=3/4−3=−9/4<0, касательная убывает.

5. 5. f′(−1/2)=−9/4, f′(2)=9; второй наклон больше.

6. 6. f′(0)=−3, это ненулевой коэффициент, поэтому x=0 не стационарная точка.

7. 7. Они равны: f′(4)=f′(−4)=3·16−3=45. Причина — чётность производной.

8. 8. В обоих экстремумах наклон нулевой; утверждение неверно. Отличаются знаки f′ по сторонам точек.

Разбор варианта Б

1. 9. x=−2 и x=2, где 12−3x²=0.

2. 10. 12>9: в центре касательная круче по положительному наклону.

3. 11. Оба значения равны −15 по чётности производной.

4. 12. 12−3x²=9, значит x²=1, x=−1 или x=1.

5. 13. −36<9. Сравнение отрицательного и положительного наклонов выполняется как обычное сравнение чисел.

6. 14. При x=±3 имеем g′=−15. Касательные параллельны, хотя проходят через разные точки.

7. 15. У f в x=1 минимум, а у g в x=2 максимум; обе касательные горизонтальны, но изменение знака разное.

8. 16. Нет: при x=√5 имеем g′=12−15=−3, и |−3|<12. Один знак производной не задаёт модуль.

Взаимная проверка

Проверьте, что любое утверждение «касательные параллельны» здесь обосновано равенством производных. Нельзя путать величину f(x), которая задаёт высоту точки, с f′(x), которая задаёт наклон касательной. Два экстремума не означают двух разных наклонов: в гладких экстремумах обе касательные горизонтальны.

Указание для самостоятельного разбора: из f′(t)=3t²−3 следует f′(−t)=f′(t). Аналогично g′(−t)=g′(t). Это объясняет симметричность парных наклонов. Но сам факт двух экстремумов не гарантирует такой симметрии для произвольной функции; здесь она вытекает из конкретных формул.