Сравнение наклонов касательных для функции с параметром в коэффициенте: диагностика ошибок, 11 класс

11 класс. Цель: искать границы по параметру, сравнивать угловые коэффициенты и исправлять распространённые ошибки.

В этом тесте параметры находятся в коэффициентах функций, а наклон касательной равен значению производной в выбранной точке. Используйте две модели: A: fₐ(x)=a·x²−6x+1, f′ₐ(x)=2ax−6; Б: gₐ(x)=x³−a·x²+2x, g′ₐ(x)=3x²−2ax+2. Параметр a — действительное число, если в задании не сказано иное.

Мини-тест: 12 коротких вопросов

1. Задание 1. Модель A. При a=2 найдите наклон в x=1.

2. Задание 2. Модель A. При a=3 сравните наклоны в x=1 и x=3.

3. Задание 3. Модель A. При каком a касательные в x=1 и x=3 параллельны?

4. Задание 4. Модель A. Верно ли: «a>0 гарантирует m(1)>m(3)»?

5. Задание 5. Модель A. Найдите a, если наклон в x=2 равен 6.

6. Задание 6. Модель A. Для a=−1 сравните m(−1) и m(2).

7. Задание 7. Модель Б. Найдите m(1) через a.

8. Задание 8. Модель Б. Найдите m(2) через a.

9. Задание 9. Модель Б. При каком a наклоны в x=1 и x=2 равны?

10. Задание 10. Модель Б. При a=5 какой наклон больше: в x=1 или x=2?

11. Задание 11. Модель Б. Исправьте ошибку: «если a=4,5, у функции горизонтальные касательные в x=1 и x=2».

12. Задание 12. Модель Б. При a=0 как соотносятся m(1) и m(2)?

Ключ и пояснения к спорным пунктам

1. 1. −2, потому что 2·2·1−6=−2.

2. 2. m(1)=0, m(3)=12; второй больше.

3. 3. Только при a=0: разность m(3)−m(1)=4a, и она должна быть нулевой.

4. 4. Нет, наоборот m(3)−m(1)=4a>0, значит m(3)>m(1).

5. 5. 4a−6=6; a=3.

6. 6. m(−1)=−4, m(2)=−10; первый больше.

7. 7. 5−2a: 3−2a+2=5−2a.

8. 8. 14−4a: 12−4a+2=14−4a.

9. 9. 5−2a=14−4a; 2a=9; a=9/2=4,5.

10. 10. m(1)=−5, m(2)=−6: наклон при x=1 больше.

11. 11. Наклоны равны, но не нулю: m(1)=m(2)=−4. Равенство наклонов не означает горизонтальность.

12. 12. m(1)=5, m(2)=14, значит m(2)>m(1).

Баллы и интерпретация

За каждый верный ответ с подстановкой или необходимым объяснением — 1 балл, максимум 12. Результат 11–12 показывает уверенное владение методом, 8–10 — небольшие пробелы, 5–7 — стоит повторить производную и знаки неравенств; 0–4 — начать с формулы углового коэффициента касательной. Для заданий с параметром полезно сначала вывести разность наклонов, а уже потом подставить значение a.

Особенно внимательно проверяйте пункты 3, 9 и 11: касательные могут быть параллельными при одинаковых ненулевых наклонах. Не путайте равенство коэффициентов с условием горизонтальности m=0.