Сравнение площадей подобных фигур при составной геометрической фигуре — тренажёр для 8 класса

Контроль на старте. Составная фигура получается из большого прямоугольника удалением прямоугольного выреза в углу (получается буква Г). Её площадь равна произведению сторон внешнего прямоугольника минус площадь выреза. Две такие фигуры подобны, если все соответствующие линейные размеры, в том числе стороны выреза и его расположение, меняются с одинаковым коэффициентом k.

Три вопроса перед тренажёром

Задание 1. Прямоугольник 12×9 см с вырезом 4×3 см. Найдите площадь оставшейся Г-образной фигуры.

Задание 2. Копия Г-образной фигуры увеличена по всем направлениям в 3 раза. Во сколько раз возрастёт её площадь?

Задание 3. Внешний прямоугольник увеличен вдвое, а вырез оставлен прежнего размера. Можно ли считать новые фигуры подобными?

Новые задачи — вычисление площадей

Во всех числовых пунктах вырез начинается в соответствующем углу, не пересекается с другими вырезами и целиком расположен во внешнем прямоугольнике. Размеры указаны как ширина × высота. При масштабировании расположение выреза сохраняется.

Задание 4. Внешний прямоугольник 15×12 см, вырез 5×4 см; k=2. Найдите площади двух подобных Г-фигур и их отношение.

Задание 5. Внешний прямоугольник 18×10 см, вырез 6×2 см; k=1/2. Найдите площади двух подобных Г-фигур и их отношение.

Задание 6. Внешний прямоугольник 20×14 см, вырез 8×6 см; k=3/2. Найдите площади двух подобных Г-фигур и их отношение.

Задание 7. Внешний прямоугольник 24×16 см, вырез 6×8 см; k=3/4. Найдите площади двух подобных Г-фигур и их отношение.

Задание 8. Внешний прямоугольник 21×15 см, вырез 7×5 см; k=4/3. Найдите площади двух подобных Г-фигур и их отношение.

Задание 9. Внешний прямоугольник 14×11 см, вырез 4×3 см; k=5/2. Найдите площади двух подобных Г-фигур и их отношение.

Задание 10. Внешний прямоугольник 30×18 см, вырез 10×6 см; k=1/3. Найдите площади двух подобных Г-фигур и их отношение.

Задание 11. Внешний прямоугольник 28×20 см, вырез 8×5 см; k=3/2. Найдите площади двух подобных Г-фигур и их отношение.

Задание 12. Внешний прямоугольник 16×15 см, вырез 4×5 см; k=5/4. Найдите площади двух подобных Г-фигур и их отношение.

Ключ для быстрой проверки

Ответ 1. 12·9 − 4·3 = 108 − 12 = 96 см². Вырез вычитается ровно один раз.

Ответ 2. В 3² = 9 раз. Масштаб должен относиться и к вырезу, и к внешней рамке.

Ответ 3. Нет. Отношения соответствующих сторон внешней части и выреза различаются. Автоматически умножать исходную площадь на 4 нельзя.

Ответ 4. S(I)=15·12−5·4=160 см²; S(II)=160·(2)²=640 см²; S(II):S(I)=4:1.

Ответ 5. S(I)=18·10−6·2=168 см²; S(II)=168·(1/2)²=42 см²; S(II):S(I)=1/4:1.

Ответ 6. S(I)=20·14−8·6=232 см²; S(II)=232·(3/2)²=522 см²; S(II):S(I)=9/4:1.

Ответ 7. S(I)=24·16−6·8=336 см²; S(II)=336·(3/4)²=189 см²; S(II):S(I)=9/16:1.

Ответ 8. S(I)=21·15−7·5=280 см²; S(II)=280·(4/3)²=4480/9 см²; S(II):S(I)=16/9:1.

Ответ 9. S(I)=14·11−4·3=142 см²; S(II)=142·(5/2)²=1775/2 см²; S(II):S(I)=25/4:1.

Ответ 10. S(I)=30·18−10·6=480 см²; S(II)=480·(1/3)²=160/3 см²; S(II):S(I)=1/9:1.

Ответ 11. S(I)=28·20−8·5=520 см²; S(II)=520·(3/2)²=1170 см²; S(II):S(I)=9/4:1.

Ответ 12. S(I)=16·15−4·5=220 см²; S(II)=220·(5/4)²=1375/4 см²; S(II):S(I)=25/16:1.

Где обычно теряют площадь

В задании 5 уменьшение вдвое по длине даёт четверть площади. В задаче 9 увеличение в 2,5 раза создаёт коэффициент площади 6,25. Оставляйте точные дроби, не округляя.

Подобие составных фигур проверяют отдельно: если вырез изменён не в том же масштабе, фигуры не подобны. Равенство двух площадей ничего не доказывает о форме.