Сравнение площадей подобных фигур с общим углом и параллельными отрезками: карточки с ответами, 8 класс

Цель: сравнивать площади подобных треугольников, у которых общий угол A, а отрезок DE параллелен BC. На каждой схеме D лежит внутри AB, E — внутри AC, DE ∥ BC. Если малая фигура ADE имеет линейный коэффициент k = AD/AB = AE/AC, то S(ADE)/S(ABC) = k². Это квадрат, а не сам коэффициент k.

Перед работой подпишите лучи из A и определите, какая фигура внутри другой. Для внутреннего параллельного сечения 0 < k < 1, следовательно, малая площадь меньше большой. Длины даны в сантиметрах, площади — в квадратных сантиметрах; соотношения площадей безразмерны.

Исходные данные: восемь карточек

Прочитайте таблицу; никаких построений на сайте не требуется. Чертёж можно сделать на бумаге: A сверху, точки D и E на сторонах AB и AC, а BC — основание большого треугольника.

Часть I — чтение таблицы и сравнение

В заданиях 1–8 сначала сравните AD/AB с AE/AC. Если они равны, вычислите k, долю площади и площадь малой фигуры. Ответ дополните одним предложением о том, почему численно полученная площадь меньше исходной.

Задание 1. Карточка А: определите k и отношение площадей S(ADE):S(ABC); найдите S(ADE), если S(ABC) = 72 см².

Задание 2. Карточка Б: определите k и отношение площадей S(ADE):S(ABC); найдите S(ADE), если S(ABC) = 125 см².

Задание 3. Карточка В: определите k и отношение площадей S(ADE):S(ABC); найдите S(ADE), если S(ABC) = 128 см².

Задание 4. Карточка Г: определите k и отношение площадей S(ADE):S(ABC); найдите S(ADE), если S(ABC) = 189 см².

Задание 5. Карточка Д: определите k и отношение площадей S(ADE):S(ABC); найдите S(ADE), если S(ABC) = 160 см².

Задание 6. Карточка Е: определите k и отношение площадей S(ADE):S(ABC); найдите S(ADE), если S(ABC) = 108 см².

Задание 7. Карточка Ж: определите k и отношение площадей S(ADE):S(ABC); найдите S(ADE), если S(ABC) = 242 см².

Задание 8. Карточка З: определите k и отношение площадей S(ADE):S(ABC); найдите S(ADE), если S(ABC) = 200 см².

Часть II — обратные вычисления

Теперь пользуйтесь равенством S(ADE)/S(ABC)=k² в обратную сторону: по двум площадям найдите линейную долю. При необходимости объясните, почему отрицательный коэффициент для длин невозможен.

Задание 9. У двух треугольников с общим углом A и DE ∥ BC площадь большого равна 100 см², малого — 16 см². Найдите AD:AB, если D расположена на AB.

Задание 10. У двух треугольников с общим углом A и DE ∥ BC площадь большого равна 144 см², малого — 81 см². Найдите AD:AB, если D расположена на AB.

Задание 11. У двух треугольников с общим углом A и DE ∥ BC площадь большого равна 196 см², малого — 49 см². Найдите AD:AB, если D расположена на AB.

Задание 12. У двух треугольников с общим углом A и DE ∥ BC площадь большого равна 225 см², малого — 100 см². Найдите AD:AB, если D расположена на AB.

Часть III — найдите противоречие

Следующие рассуждения содержат по одной типичной ошибке или верны; исправьте ошибку и пересчитайте ответ. Важен именно смысл доли, а не запоминание одной формулы.

Задание 13. Для k = 2/5 ученик получил S(ADE):S(ABC) = 2:5. Каким должно быть отношение площадей?

Задание 14. В треугольнике AD/AB = 3/4, AE/AC = 2/3; ученик утверждает, что DE ∥ BC. Найдите ошибку.

Задание 15. S(ADE) = 12 см², k = 1/3. Ученик записал S(ABC) = 12·3 = 36 см². Найдите правильную площадь.

Задание 16. Дано S(ABC) = 75 см², AD/AB = AE/AC = 4/5. Ученик получил S(ADE)=48 см². Верно ли?

Ключ с вычислениями

Ответ 1. AD/AB = 6/12 = 1/2, AE/AC = 9/18 = 1/2. Поэтому отношение площадей 1/4:1, а S(ADE) = 72 · (1/2)² = 18 см².

Ответ 2. AD/AB = 9/15 = 3/5, AE/AC = 12/20 = 3/5. Поэтому отношение площадей 9/25:1, а S(ADE) = 125 · (3/5)² = 45 см².

Ответ 3. AD/AB = 12/16 = 3/4, AE/AC = 21/28 = 3/4. Поэтому отношение площадей 9/16:1, а S(ADE) = 128 · (3/4)² = 72 см².

Ответ 4. AD/AB = 7/21 = 1/3, AE/AC = 6/18 = 1/3. Поэтому отношение площадей 1/9:1, а S(ADE) = 189 · (1/3)² = 21 см².

Ответ 5. AD/AB = 18/24 = 3/4, AE/AC = 24/32 = 3/4. Поэтому отношение площадей 9/16:1, а S(ADE) = 160 · (3/4)² = 90 см².

Ответ 6. AD/AB = 12/18 = 2/3, AE/AC = 18/27 = 2/3. Поэтому отношение площадей 4/9:1, а S(ADE) = 108 · (2/3)² = 48 см².

Ответ 7. AD/AB = 14/28 = 1/2, AE/AC = 15/30 = 1/2. Поэтому отношение площадей 1/4:1, а S(ADE) = 242 · (1/2)² = 121/2 см².

Ответ 8. AD/AB = 21/35 = 3/5, AE/AC = 15/25 = 3/5. Поэтому отношение площадей 9/25:1, а S(ADE) = 200 · (3/5)² = 72 см².

Ответ 9. k² = 16/100 = 4/25. Так как длины положительны, k = √(4/25) = 2/5. Следовательно, AD:AB = 2:5. Обратная проверка: 100·(2/5)² = 16 см².

Ответ 10. k² = 81/144 = 9/16. Так как длины положительны, k = √(9/16) = 3/4. Следовательно, AD:AB = 3:4. Обратная проверка: 144·(3/4)² = 81 см².

Ответ 11. k² = 49/196 = 1/4. Так как длины положительны, k = √(1/4) = 1/2. Следовательно, AD:AB = 1:2. Обратная проверка: 196·(1/2)² = 49 см².

Ответ 12. k² = 100/225 = 4/9. Так как длины положительны, k = √(4/9) = 2/3. Следовательно, AD:AB = 2:3. Обратная проверка: 225·(2/3)² = 100 см².

Ответ 13. Неверно: площадь зависит от квадрата масштаба, поэтому (2/5)²=4/25. Отношение площадей равно 4:25, а не 2:5.

Ответ 14. 3/4 ≠ 2/3, поэтому обратная теорема Фалеса не выполнена. Для соответствующих точек D,E параллельность DE и BC из этих данных не следует; условия противоречат такой параллельности.

Ответ 15. Нужно разделить на k²=1/9, а не на k=1/3. S(ABC)=12/(1/9)=108 см². Проверка: 108/9=12 см².

Ответ 16. Верно: k²=16/25, S(ADE)=75·16/25=48 см². Обратная проверка 48/75=16/25. Не объявляйте корректное решение ошибочным только потому, что задача находится в блоке диагностики.

Что показывает таблица

Карточки А и Ж имеют одинаковый линейный коэффициент 1/2, хотя абсолютные площади отличаются. Значит, доля площадей одинакова, а сами площади — нет. Карточки Б и З тоже дают равную долю 9/25: это удобная проверка без пересчёта всех чисел.

Дополнительная проверка: если k = 1/2, малая фигура занимает четверть площади большого треугольника. Остальная площадь — трапеция DBCE — занимает три четверти. Нельзя называть её подобной треугольнику ADE: разное число сторон исключает подобие в обычном смысле.

Для оценки: по 1 баллу за числовой ответ в первых двенадцати заданиях; ещё по 2 балла за мотивированное исправление или подтверждение в пунктах 13–16. Максимум 20 баллов. Самая существенная ошибка — путать коэффициент длин и коэффициент площадей.