Сравнение площади полных поверхностей для конуса с заданным радиусом — задания с разбором, 11 класс

Задачи с обратной проверкой, 11 класс. Два конуса с одинаковым радиусом основания могут иметь разную площадь полной поверхности: всё решает длина образующей. Задача — не спутать площадь основания с боковой поверхностью и проверить полученное сравнение обратным вычислением.

Базовая модель

Для прямого кругового конуса S_полн = πr² + πrl = πr(r + l). Здесь r — радиус основания, l — образующая. Если дана высота h, то l = √(r² + h²), причём для невырожденного конуса h > 0 и l > r. При одинаковом r порядок площадей совпадает с порядком образующих.

Пример: два конуса имеют r = 5 см и l = 7 см или l = 12 см. Сначала S₁ = 5π(5 + 7) = 60π см², S₂ = 5π(5 + 12) = 85π см². Проверка назад: из S₂/πr − r получаем 85/5 − 5 = 12 см, то есть данную образующую. Разница 25π — это πr(l₂ − l₁).

Изменяем условие и проверяем себя

В карточках 1–4 двигайтесь от известной образующей к площади, затем от площади обратно к образующей. В карточках 5–10 понадобится проверить геометрическую осуществимость. Для заданий 11–16 объясняйте сравнение не только арифметически, но и геометрически: почему при неизменном радиусе площадь основания остаётся постоянной?

1. Два прямых конуса имеют радиус основания 5 см; их образующие равны 9 и 13 см. Найдите обе полные площади и сравните.

2. У второго конуса из задания 1 уменьшили образующую с 13 до 11 см. На сколько уменьшится площадь?

3. При r=3 см сравните конусы с образующими 5 и 7 см.

4. Конус имеет радиус 4 см и полную площадь 68π см². Найдите образующую и проверьте результат.

5. У конуса r=5 см, h=12 см. Сравните его с конусом того же радиуса и l=10 см.

6. Радиус обоих конусов 6 см. У первого h=8 см, у второго l=8 см. Какой имеет большую площадь?

7. При r=4 см ученик сравнил конусы с l=6 и l=9 по формулам 24π и 36π. Найдите ошибку.

8. Можно ли считать конусом тело с r=7 см и l=5 см?

9. Конусы с r=2 см имеют полные площади 20π и 26π см². Найдите образующие и сравните их.

10. Какой из конусов с r=8 см имеет большую полную площадь: l=10 см или l=17 см? Во сколько раз?

11. У двух конусов одинаковый радиус r. Их полные площади равны 72π и 88π см², а r=4 см. Найдите разницу образующих.

12. Конус r=3 см и l=5 см заменили конусом r=3 см и l=9 см. Найдите процент прироста полной площади.

13. Радиус и образующую конуса увеличили одновременно в 2 раза. Во сколько раз вырастет полная площадь?

14. При одинаковом r=5 см сравните конусы с высотами 0 и 12 см. Допустима ли первая фигура как объёмный конус?

15. При r=7 см сравните l=9 и l=14, не вычисляя каждую площадь отдельно.

16. Сравните две модели с одинаковыми r=6 см и l=10 см, если первая учитывает только боковую площадь, а вторая полную. Почему ответы не равны?

Развёрнутые решения и обратные проверки

1. S=πr(r+l). Получаем 5π(5+9)=70π и 5π(5+13)=90π см². Второй больше на 20π.

2. При неизменном r=5: ΔS=πrΔl=5π·2=10π см². Новая площадь 80π см².

3. S₁=3π(3+5)=24π; S₂=3π(3+7)=30π. Второй больше на 6π см².

4. 68π=4π(4+l), значит l=13 см. Проверка: площадь боковой части 52π и основания 16π, всего 68π.

5. По Пифагору l=√(5²+12²)=13 см; полная площадь 90π. У второго S=5π(5+10)=75π. Первый больше на 15π.

6. У первого l=√(6²+8²)=10 см и S=96π. У второго S=6π(6+8)=84π. Разность 12π см².

7. Это только боковые площади πrl. Полные площади равны 4π(4+6)=40π и 4π(4+9)=52π. Разность по-прежнему 12π.

8. Нет: у прямого конуса l²=r²+h², поэтому l≥r, а при положительной высоте l>r. Таких размеров настоящего конуса не существует.

9. l₁=20/2−2=8 см; l₂=26/2−2=11 см. Вторая образующая больше на 3 см.

10. Площади 8π·18=144π и 8π·25=200π. Вторая больше; отношение 200/144=25/18.

11. При фиксированном радиусе Δl=ΔS/(πr)=(88−72)/4=4 см. Для проверки l₁=14, l₂=18.

12. Было 24π, стало 36π; прирост 12π. Доля 12π/24π=1/2, то есть 50 %.

13. S′=π(2r)(2r+2l)=4πr(r+l)=4S. Площадь увеличится в 4 раза.

14. При h=0 получается вырожденная фигура с l=r; объёмный прямой конус требует h>0. Для второго l=13 и S=90π. Первую нельзя использовать как невырожденный конус.

15. Разность S₂−S₁=π·7·(14−9)=35π см², поэтому второй конус имеет большую полную площадь.

16. Боковая площадь 60π, полная 60π+36π=96π см². Основание даёт разницу 36π; это разные величины, хотя геометрическое тело одно.

Типичные ошибки и как их исправить

• Забыли основание. Если написали πrl вместо πr(r+l), ответ относится только к боковой поверхности. Обнаружить ошибку можно вычитанием: площадь должна быть больше πrl на πr².
• Перепутали высоту с образующей. При заданном h сначала найдите l по прямоугольному треугольнику. Подставлять h вместо l нельзя.
• Не проверили возможность фигуры. Если l < r, никакого прямого конуса указанного вида нет.
• Сравнили числа без единиц. Площади измеряются в квадратных сантиметрах; длины в сантиметрах.

Самопроверка: выберите любую пару с одинаковым радиусом, вычислите разность двумя способами — по полным площадям и по формуле πrΔl. Результаты обязаны совпасть. Если нет, скорее всего, вы потеряли слагаемое πr² или неверно нашли образующую.

Дополнительное объяснение метода обратной проверки

Когда требуется сравнить поверхности двух конусов, удобно сначала выписать общую часть площади. При равном радиусе основания слагаемое πr² одинаково и не влияет на знак разности. Остаётся сравнить πrl₁ и πrl₂. Именно поэтому увеличение высоты не следует бездумно подставлять вместо увеличения образующей: связь высоты с образующей квадратичная, l=√(r²+h²), а зависимость площади от l при фиксированном r — линейная.

Обратная проверка даёт независимый путь контроля: из вычисленной полной площади S восстанавливаем l = S/(πr) − r. Например, при r=4 и S=52π получаем l=52/4−4=9 см. Далее можно восстановить высоту: h=√(9²−4²)=√65 см. Подстановка в исходную формулу возвращает 52π. Если получилось отрицательное число под корнем, в вычислениях либо в исходных размерах скрыта ошибка.

Разбор условий «больше на» и «во сколько раз» отличается. При одинаковом r разность полных площадей равна πr(l₂−l₁), поскольку площади оснований сокращаются. Но отношение полных площадей равно (r+l₂)/(r+l₁), а не l₂/l₁. Например, для r=3, l₁=5, l₂=7 отношение площадей 30π/24π=5/4; отношение образующих 7/5. Эти значения различаются.

Если один конус имеет высоту 8 см и радиус 6 см, сначала строят осевой прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, а затем получают образующую 10. Число 8 относится к высоте и не заменяет длину наклонной стороны. Такое различение помогает проверять практические чертежи и понимать, почему боковая поверхность разворачивается в сектор, радиусом которого служит именно образующая.

Как работать с карточкой. Решите задания до чтения ключа; после проверки обязательно объясните, какая поверхность учтена и почему. Ответы даны в квадратных единицах. Число π оставлено точным: приближение не требуется.