Сравнение площади полных поверхностей для составного тела из нескольких частей — самостоятельная работа, 11 класс

Самостоятельная работа, 11 класс. Здесь сравнивается полная наружная поверхность составного тела. В отличие от вычисления только боковых площадей, нужно обязательно учитывать верхние и нижние открытые грани и исключать поверхность склейки с обеих сторон.

Памятка перед самостоятельной работой

Если два бруса соединены без наложений объёмов, наружная полная площадь равна S₁ + S₂ − 2A, где A — площадь их общей плоской грани. Фактор 2 обязателен: до сборки эта площадь принадлежала границе каждого тела. Если составное тело стало обычным прямоугольным параллелепипедом, результат можно проверить формулой 2(ab+bc+ac).

В варианте А блоки соединяют по вертикальным граням, поэтому получается один вытянутый брус. В варианте Б меньший блок целиком расположен на горизонтальной верхней грани большего: он образует уступ, однако у обоих элементов поверхности контакта остаются внутренними. Все размеры в сантиметрах, все ответы — в см².

Вариант А — соединение бок о бок

1. Вариант А. Два бруса 2 × 4 × 3 и 5 × 4 × 3 см склеены по общей грани 4 × 3. Сколько составляет полная внешняя площадь?

2. Вариант А. Брусья шириной 4 и 4 см, глубиной 5 см, высотой 2 см соединены бок о бок. Найдите полную площадь.

3. Вариант А. Соедините призмы шириной 1 и 6 см, глубиной 3 см и высотой 5 см. Найдите S.

4. Вариант А. Призмы шириной 3 и 7 см, глубиной 2 см и высотой 4 см соединены вдоль вертикальной грани. Найдите S.

5. Вариант А. Блоки шириной 5 и 2 см, глубиной 6 см и высотой 2 см склеены по стороне 6 × 2. Проверьте ответ 136 см².

6. Вариант А. Сумма полных площадей двух частей равна 200 см², контактная грань имеет площадь 18 см². Найдите наружную полную площадь.

7. Вариант А. Сумма площадей отдельных брусьев равна 188 см², а наружная полная площадь — 152 см². Найдите площадь общей грани.

8. Вариант А. Сравните полную поверхность соединения из задания 1 с кубом ребра 4 см.

Вариант Б — ступенчатая сборка

1. Вариант Б. Нижний брус 8 × 6 × 4 см, верхний 4 × 3 × 2 см полностью опирается на него. Вычислите S.

2. Вариант Б. Нижний блок 10 × 8 × 3, верхний 5 × 4 × 2 см. Найдите площадь всей наружной поверхности.

3. Вариант Б. Нижняя призма 6 × 5 × 7 см, верхняя 3 × 2 × 4 см. Проверьте ответ 254 см².

4. Вариант Б. Блок 9 × 4 × 3 см несёт сверху блок 3 × 2 × 5 см. Найдите S.

5. Вариант Б. На верхнюю грань бруса 5 × 5 × 2 см поставлен куб ребра 2 см. Вычислите S.

6. Вариант Б. Полные площади отдельных тел равны 180 и 74 см², а площадь склейки 16 см². Найдите S составного тела.

7. Вариант Б. Сумма полных площадей частей равна 336 см², после соединения S=300 см². Восстановите площадь контакта.

8. Вариант Б. Ученик вычел из суммы полных площадей только одну площадь склейки. Почему это неверно?

Ключ для взаимопроверки: вариант А

1. Получился брус 7 × 4 × 3: S=2(28+21+12)=122 см². Обратная проверка: 52+94−2·12=122.

2. Наружные размеры 8 × 5 × 2, S=2(40+16+10)=132 см².

3. Размеры 7 × 3 × 5, S=2(21+35+15)=142 см².

4. Размеры 10 × 2 × 4; S=2(20+40+8)=136 см².

5. Верно: общий брус 7 × 6 × 2; 2(42+14+12)=136 см².

6. S=200−2·18=164 см².

7. A=(188−152)/2=18 см².

8. Для соединения 122 см²; для куба 6·4²=96 см². Первая больше на 26 см².

Ключ учителя: вариант Б

1. S₁=2(48+32+24)=208; S₂=2(12+8+6)=52. Контакт A=12. Общая S=208+52−24=236 см².

2. Нижний S=268, верхний S=76, контакт 20. Итого 268+76−40=304 см².

3. S₁=2(30+42+35)=214; S₂=2(6+12+8)=52; общая грань 6. S=214+52−12=254 см².

4. Нижний S=2(36+27+12)=150, верхний S=2(6+15+10)=62, контакт 6. Итого 150+62−12=200 см².

5. Нижний S=2(25+10+10)=90; куб S=6·4=24; площадь контакта 4. S=90+24−8=106 см².

6. S=180+74−2·16=222 см².

7. (336−300)/2=18 см². Она исчезает с поверхности каждой из двух частей.

8. До соединения контакт представлен двумя разными гранями — по одной на каждом теле. Обе стали внутренними, значит, из суммы нужно вычесть 2A, а не A.

Разбор неочевидного случая

В задаче 9 верхний брус меньшего размера не закрывает всю верхнюю грань нижнего. Открытое «кольцо» вокруг него уже входит в формулу после вычитания только A с каждой стороны: дополнительно вычитать всю верхнюю грань было бы ошибкой. В задании 16 требуется объяснение даже без конкретных размеров; оно показывает понимание того, какие части становятся невидимыми.

Оценивание: вычисления без указания контакта — не более половины баллов в задачах 6, 7, 14 и 15. Если ученик получил ту же сумму, что у двух раздельных брусьев, попросите отметить на эскизе обе исчезнувшие поверхности. Сравнение площадей нужно выполнять в одинаковых единицах и для одинакового понятия — полной наружной поверхности.

Как работать с карточкой. Решите задания до чтения ключа; после проверки обязательно объясните, какая поверхность учтена и почему. Ответы даны в квадратных единицах. Число π оставлено точным: приближение не требуется.