Сравнение площади полных поверхностей при упаковке в форму призмы: рабочий лист для 11 класса

Короткая диагностика для печати. В задачах все упаковки замкнуты, если явно не сказано обратное. Картон и плёнка считаются без клапанов, нахлёстов и технологических потерь.

Три контрольных вопроса

1. Контроль: найдите S коробки 6 × 4 × 3 см, у которой все шесть граней закрыты.

2. Контроль: какова S прямоугольной призмы 8 × 3 × 3 см?

3. Контроль: у двух коробок выше одинаковый объём. Какая потребует меньше материала?

Ещё девять заданий

1. Сравните упаковки 5 × 5 × 4 и 4 × 4 × 6 см по полной площади.

2. Для коробки 10 × 2 × 4 см указан ответ 128 см². Проверьте.

3. Сколько квадратных сантиметров картона нужно для закрытого куба ребра 4 см?

4. В упаковке 7 × 3 × 2 см забыли одну пару граней площадью 3 × 2. Каков недосчёт?

5. Коробка имеет основание 8 × 5 см и высоту 2 см. Сравните боковую и полную площади.

6. Прямая треугольная призма имеет прямоугольное основание с катетами 3 и 4 см, боковое ребро 6 см. Найдите полную площадь.

7. У другой треугольной призмы основание с катетами 5 и 12 см, длина призмы 4 см. Сравните её площадь с 130 см².

8. Для закрытой коробки 3 × 3 × 8 см рассчитайте полную площадь.

9. Коробка 6 × 4 × 3 см потеряла крышку 6 × 4 см. Насколько снизилась площадь использованного картона?

Быстрый ключ с проверкой

1. S=2(6·4+6·3+4·3)=2(24+18+12)=108 см².

2. S=2(24+24+9)=114 см².

3. Объёмы одинаковы: 6·4·3=72 и 8·3·3=72 см³. Первая требует 108 см² против 114 см², экономия 6 см².

4. Первая: 2(25+20+20)=130; вторая: 2(16+24+24)=128 см². Вторая меньше на 2 см².

5. Правильно S=2(20+40+8)=136 см². Ошибка 8 см²; вероятно, неверно посчитана одна пара граней.

6. 6·4²=96 см² без припусков на швы.

7. Две пропущенные грани суммарно 2·3·2=12 см². Полная площадь 2(21+14+6)=82 см².

8. Боковая 2(8+5)·2=52; полная 52+2·8·5=132 см².

9. Гипотенуза основания 5; площадь треугольника 3·4/2=6. Боковая (3+4+5)·6=72. Полная 72+2·6=84 см².

10. Гипотенуза 13, периметр 30, площадь основания 30. Полная S=30·4+2·30=180 см²; больше 130 на 50 см².

11. S=2(9+24+24)=114 см².

12. Вместо 108 стало 108−24=84 см². Сравнение закрытых упаковок с открытой без оговорки некорректно.

Главная проверка: сравнивать следует одну и ту же величину — площадь полной наружной поверхности. Для прямоугольной закрытой упаковки S = 2(ab + bc + ac). Для прямой треугольной призмы S = Ph + 2A, где A — площадь основания. Меньшая площадь при равном объёме означает экономию материала только в рамках указанной геометрической модели.

В заданиях 3 и 12 важно не делать вывод об экономии без проверки условий: одинаковый объём не гарантирует одинаковую площадь, а открытая упаковка не является полной поверхностью закрытой.