Сравнение разброса результатов при округлении вероятностей — диагностика ошибок, 11 класс
11 класс · распределения и статистика · дисперсия при округлении вероятностей
Задача практикума — не просто подставить округлённую вероятность, а обнаружить, как меняется разброс. Для случайной величины с исходами 0 и L, где P(X=L)=p, математическое ожидание равно Lp, а дисперсия D(X)=L²p(1−p). Стандартное отклонение равно √D(X). Разброс нельзя сравнивать по одним лишь средним значениям.
Если для двух исходов вероятности 0,23 и 0,77 округляются до 0,2 и 0,8, распределение остаётся нормированным, но дисперсия обычно меняется. Округление каждой строки большой таблицы по отдельности иногда даёт сумму 0,99 или 1,01: такую таблицу нельзя безоговорочно считать точным распределением.
Содержание статьи28 разделов
Уровень I. Сразу найдите ошибку
Задание 1
Распределение: X = 0 с вероятностью 0,77 и X = 10 с вероятностью 0,23. Вероятности округлили до десятых. Ученик заявил, что дисперсия после округления равна 23/10. Найдите обе дисперсии и объясните сбой.
Ответ и проверка. D до округления = 1771/100; D после = 16; изменение = -171/100. Используем 10²·p·(1−p), а не среднее Lp; p округляется до 0,2.
Задание 2
Распределение: X = 0 с вероятностью 0,82 и X = 12 с вероятностью 0,18. Вероятности округлили до десятых. Ученик заявил, что дисперсия после округления равна 648/25. Найдите обе дисперсии и объясните сбой.
Ответ и проверка. D до округления = 13284/625; D после = 576/25; изменение = 1116/625. Используем 12²·p·(1−p), а не среднее Lp; p округляется до 0,2.
Задание 3
Распределение: X = 0 с вероятностью 0,33 и X = 8 с вероятностью 0,67. Вероятности округлили до десятых. Ученик заявил, что дисперсия после округления равна 134/25. Найдите обе дисперсии и объясните сбой.
Ответ и проверка. D до округления = 8844/625; D после = 336/25; изменение = -444/625. Используем 8²·p·(1−p), а не среднее Lp; p округляется до 0,7.
Задание 4
Распределение: X = 0 с вероятностью 0,66 и X = 20 с вероятностью 0,34. Вероятности округлили до десятых. Ученик заявил, что дисперсия после округления равна 136. Найдите обе дисперсии и объясните сбой.
Ответ и проверка. D до округления = 2244/25; D после = 84; изменение = -144/25. Используем 20²·p·(1−p), а не среднее Lp; p округляется до 0,3.
Задание 5
Распределение: X = 0 с вероятностью 0,28 и X = 15 с вероятностью 0,72. Вероятности округлили до десятых. Ученик заявил, что дисперсия после округления равна 54/5. Найдите обе дисперсии и объясните сбой.
Ответ и проверка. D до округления = 1134/25; D после = 189/4; изменение = 189/100. Используем 15²·p·(1−p), а не среднее Lp; p округляется до 0,7.
Задание 6
Распределение: X = 0 с вероятностью 0,54 и X = 6 с вероятностью 0,46. Вероятности округлили до десятых. Ученик заявил, что дисперсия после округления равна 414/25. Найдите обе дисперсии и объясните сбой.
Ответ и проверка. D до округления = 5589/625; D после = 9; изменение = 36/625. Используем 6²·p·(1−p), а не среднее Lp; p округляется до 0,5.
Задание 7
Распределение: X = 0 с вероятностью 0,17 и X = 14 с вероятностью 0,83. Вероятности округлили до десятых. Ученик заявил, что дисперсия после округления равна 581/50. Найдите обе дисперсии и объясните сбой.
Ответ и проверка. D до округления = 69139/2500; D после = 784/25; изменение = 9261/2500. Используем 14²·p·(1−p), а не среднее Lp; p округляется до 0,8.
Задание 8
Распределение: X = 0 с вероятностью 0,43 и X = 25 с вероятностью 0,57. Вероятности округлили до десятых. Ученик заявил, что дисперсия после округления равна 1425/4. Найдите обе дисперсии и объясните сбой.
Ответ и проверка. D до округления = 2451/16; D после = 150; изменение = -51/16. Используем 25²·p·(1−p), а не среднее Lp; p округляется до 0,6.
Уровень II. Два ненулевых результата и обратная проверка
Для значений a и b формула обобщается: D(X)=(b−a)²p(1−p), где p — вероятность исхода b. Сдвиг обоих результатов на одно число не меняет разброс. Сначала установите величину разницы b−a и только затем округляйте вероятность; иначе легко перепутать дисперсию с ожидаемым значением.
Задание 9
Величина X принимает -2 и 4, причём P(X=4)=0,17. Вычислите дисперсию до округления p и после округления p до десятых; установите, стала ли она больше.
Ответ и проверка. D=12699/2500 и Dокр=144/25. Разброс вырос. Разность исходов равна 6; разность дисперсий 1701/2500. Проверка: при p=0 или 1 дисперсия равна нулю, поэтому полученный результат не может быть отрицательным.
Задание 10
Величина X принимает 3 и 11, причём P(X=11)=0,26. Вычислите дисперсию до округления p и после округления p до десятых; установите, стала ли она больше.
Ответ и проверка. D=7696/625 и Dокр=336/25. Разброс вырос. Разность исходов равна 8; разность дисперсий 704/625. Проверка: при p=0 или 1 дисперсия равна нулю, поэтому полученный результат не может быть отрицательным.
Задание 11
Величина X принимает -5 и 5, причём P(X=5)=0,63. Вычислите дисперсию до округления p и после округления p до десятых; установите, стала ли она больше.
Ответ и проверка. D=2331/100 и Dокр=24. Разброс вырос. Разность исходов равна 10; разность дисперсий 69/100. Проверка: при p=0 или 1 дисперсия равна нулю, поэтому полученный результат не может быть отрицательным.
Задание 12
Величина X принимает 7 и 12, причём P(X=12)=0,84. Вычислите дисперсию до округления p и после округления p до десятых; установите, стала ли она больше.
Ответ и проверка. D=84/25 и Dокр=4. Разброс вырос. Разность исходов равна 5; разность дисперсий 16/25. Проверка: при p=0 или 1 дисперсия равна нулю, поэтому полученный результат не может быть отрицательным.
Задание 13
Величина X принимает -3 и 9, причём P(X=9)=0,38. Вычислите дисперсию до округления p и после округления p до десятых; установите, стала ли она больше.
Ответ и проверка. D=21204/625 и Dокр=864/25. Разброс вырос. Разность исходов равна 12; разность дисперсий 396/625. Проверка: при p=0 или 1 дисперсия равна нулю, поэтому полученный результат не может быть отрицательным.
Задание 14
Величина X принимает 1 и 15, причём P(X=15)=0,54. Вычислите дисперсию до округления p и после округления p до десятых; установите, стала ли она больше.
Ответ и проверка. D=30429/625 и Dокр=49. Разброс вырос. Разность исходов равна 14; разность дисперсий 196/625. Проверка: при p=0 или 1 дисперсия равна нулю, поэтому полученный результат не может быть отрицательным.
Задание 15
Величина X принимает -8 и -2, причём P(X=-2)=0,76. Вычислите дисперсию до округления p и после округления p до десятых; установите, стала ли она больше.
Ответ и проверка. D=4104/625 и Dокр=144/25. Разброс уменьшился. Разность исходов равна 6; разность дисперсий -504/625. Проверка: при p=0 или 1 дисперсия равна нулю, поэтому полученный результат не может быть отрицательным.
Задание 16
Величина X принимает 4 и 20, причём P(X=20)=0,43. Вычислите дисперсию до округления p и после округления p до десятых; установите, стала ли она больше.
Ответ и проверка. D=39216/625 и Dокр=1536/25. Разброс уменьшился. Разность исходов равна 16; разность дисперсий -816/625. Проверка: при p=0 или 1 дисперсия равна нулю, поэтому полученный результат не может быть отрицательным.
Уровень III. Сравните два способа измерения
В следующих ситуациях стратегии А и Б имеют одинаковые два исхода 0 и L, но разные вероятности высокого результата. Нужно сравнить именно дисперсии: стратегия с большим математическим ожиданием не обязательно более рискованная. Для честного сравнения сначала работайте с точными p, затем с округлёнными.
Задание 17
Стратегии A и Б дают 0 или 10 баллов. Вероятность 10 баллов равна соответственно 0,18 и 0,46. Сравните дисперсии с точными вероятностями и после округления обеих вероятностей до десятых.
Ответ и проверка. DA=369/25, DБ=621/25; больше разброс у Б. После округления: 16 и 25; больше разброс у Б. Если вывод поменялся или возникло равенство после округления, это эффект потери точности, а не изменение исходной модели.
Задание 18
Стратегии A и Б дают 0 или 12 баллов. Вероятность 12 баллов равна соответственно 0,27 и 0,71. Сравните дисперсии с точными вероятностями и после округления обеих вероятностей до десятых.
Ответ и проверка. DA=17739/625, DБ=18531/625; больше разброс у Б. После округления: 756/25 и 756/25; больше разброс одинаков у обеих. Если вывод поменялся или возникло равенство после округления, это эффект потери точности, а не изменение исходной модели.
Задание 19
Стратегии A и Б дают 0 или 8 баллов. Вероятность 8 баллов равна соответственно 0,34 и 0,57. Сравните дисперсии с точными вероятностями и после округления обеих вероятностей до десятых.
Ответ и проверка. DA=8976/625, DБ=9804/625; больше разброс у Б. После округления: 336/25 и 384/25; больше разброс у Б. Если вывод поменялся или возникло равенство после округления, это эффект потери точности, а не изменение исходной модели.
Задание 20
Стратегии A и Б дают 0 или 15 баллов. Вероятность 15 баллов равна соответственно 0,41 и 0,84. Сравните дисперсии с точными вероятностями и после округления обеих вероятностей до десятых.
Ответ и проверка. DA=21771/400, DБ=756/25; больше разброс у А. После округления: 54 и 36; больше разброс у А. Если вывод поменялся или возникло равенство после округления, это эффект потери точности, а не изменение исходной модели.
Задание 21
Стратегии A и Б дают 0 или 20 баллов. Вероятность 20 баллов равна соответственно 0,49 и 0,63. Сравните дисперсии с точными вероятностями и после округления обеих вероятностей до десятых.
Ответ и проверка. DA=2499/25, DБ=2331/25; больше разброс у А. После округления: 100 и 96; больше разброс у А. Если вывод поменялся или возникло равенство после округления, это эффект потери точности, а не изменение исходной модели.
Задание 22
Стратегии A и Б дают 0 или 6 баллов. Вероятность 6 баллов равна соответственно 0,12 и 0,39. Сравните дисперсии с точными вероятностями и после округления обеих вероятностей до десятых.
Ответ и проверка. DA=2376/625, DБ=21411/2500; больше разброс у Б. После округления: 81/25 и 216/25; больше разброс у Б. Если вывод поменялся или возникло равенство после округления, это эффект потери точности, а не изменение исходной модели.
Задание 23
Стратегии A и Б дают 0 или 14 баллов. Вероятность 14 баллов равна соответственно 0,26 и 0,43. Сравните дисперсии с точными вероятностями и после округления обеих вероятностей до десятых.
Ответ и проверка. DA=23569/625, DБ=120099/2500; больше разброс у Б. После округления: 1029/25 и 1176/25; больше разброс у Б. Если вывод поменялся или возникло равенство после округления, это эффект потери точности, а не изменение исходной модели.
Задание 24
Стратегии A и Б дают 0 или 9 баллов. Вероятность 9 баллов равна соответственно 0,62 и 0,77. Сравните дисперсии с точными вероятностями и после округления обеих вероятностей до десятых.
Ответ и проверка. DA=47709/2500, DБ=143451/10000; больше разброс у А. После округления: 486/25 и 324/25; больше разброс у А. Если вывод поменялся или возникло равенство после округления, это эффект потери точности, а не изменение исходной модели.
Самопроверка вычислений
Алгоритм: (1) выпишите все различные значения X и их вероятности; (2) проверьте сумму вероятностей; (3) найдите разность исходов; (4) вычислите D по точным данным; (5) повторите после округления; (6) сравните обе величины и укажите, какова абсолютная погрешность. Знак изменения нельзя определить только по росту p: функция p(1−p) возрастает до 0,5 и убывает после 0,5.
Контрольные вопросы для объяснения результата: почему значение p=0,5 даёт наибольшую дисперсию при фиксированном расстоянии между двумя исходами? Почему замена исходов 0 и L на 10 и 10+L не меняет дисперсию? Почему округление может сделать разные распределения на вид одинаковыми?
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.